Pfaffián antisymetrické matice

Uvedeme zde některé pozoruhodné vlastnosti determinantu antisymetrické matice $ A$ sudého rozměru $ 2n$.

Připomeňme definici determinantu, zapsanou v následujícím (na první pohled méně obvyklém) tvaru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2495 \mathop{\rm det}\nolimits A~= \sum_{\pi}\prod_{C\in\pi} a_C,$ (270)

kde sumace je přes všechny permutace $ \pi$, symbolem $ C$ značíme cyklus permutace $ \pi$ tvaru $ (i_1,i_2, \dots, i_k, i_1)$ (cyklicky uspořádáná $ k$-tice indexů), $ k\ge 1$, a ,,váha'' takovéhoto cyklu $ C$ je dána vzorcem

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2497 a_C = (-1)^{k-1} \prod_{j=1}^k a_{i_j i_{j+1}},\qquad (i_{k+1} \equiv i_1)$ (271)

kde $ a_{ij}$ jsou maticové elementy $ A$. Vezměme (pro $ k\ge3$) cyklus $ C^{-1}$, inverzní k $ C$, tzn. $ C^{-1}=(i_k,i_{k-1},\dots,i_1,i_k)$ a uvědomme si vztah

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2499 a_{C^{-1}} = a_{C} (-1)^k,$ (272)

který vyplývá z antisymetričnosti $ A$.

Vezměme nějaký systém $ \varphi $ vzájemně se neprotínajících cyklů. Nechť $ \tilde{C}$ je další cyklus o lichém počtu prvků neprotínající žádný cyklus z $ \varphi $. Zřejmě je potom

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2501 a_{\varphi\cup \tilde{C}} = -a_{\varphi\cup \tilde{C}^{-1}},\qquad a_\varphi = \prod_{C\in\varphi} a_C,$ (273)

takže v definici determinantu antisymetrické matice se můžeme omezit na permutace obsahující pouze cykly o sudém počtu prvků (transpozice, čtveřice, apod.). Příspěvky permutací obsahujících cyklus liché délky se totiž vzájemně vynulují. (Proveďte tuto úvahu podrobně!)

Tvrzení. Pro antisymetrickou matici platí

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2503 \mathop{\rm det}\nolimits A~= \sum_{\pi}\prod_{C\in\pi}\prod_{(i,j)\in C} a_{ij},$ (274)

kde sumace je nyní pouze přes permutace neobsahující cykly o lichém počtu prvků. Výraz $ \prod_{(ij)\in C} a_{ij}$ (součin přes ,,orientovaná žebra'' cyklu $ C$) pak nezávisí na tom, zda vezmeme $ C$, či $ C^{-1}$.

A nyní pojďme k pojmu párování množiny $ \{1,2,\dots,2n\}$. Tím budeme rozumět rozklad $ P$ množiny $ \{1,2,\dots,2n\}$ na disjunktní dvojice prvků. Každé párování lze chápat jako obraz ,,kanonického'' párování $ P_0$ systému dvojic $ \{1,2\},\{3,4\},\dots,\{2n-1,2n\}$ při vhodné permutaci $ \pi$ množiny $ \{1,2,\dots,2n\}$. Samozřejmě, v definici $ \pi$ je veliká libovůle. Lze permutovat vzniklé dvojice mezi sebou, a také prvky uvnitř dvojic. Celkem $ 2^n n!$ možností.

Páry kanonického párování jsou fakticky uspořádané dvojice typu $ (2k-1,2k)$, a přenos $ P_0$ permutací $ \pi$ dává tedy také párování na uspořádané dvojice. Změní-li se pořadí prvků uvnitř dvojic, změní se odpovídajícím způsobem i $ \pi$ a též výraz $ \mathrm{zn}\,\pi$. (Jak?)

Nyní je třeba si uvědomit, že výraz

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2505 a_P \equiv \prod_{i=1}^n a_{\pi(2k-1),\pi(2k)}\mathrm{zn}\,\pi$ (275)

potom nezmění svou hodnotu, složíme-li $ \pi$ s nějakou další permutací tak, aby výsledné (neuspořádané) párování $ P$ bylo zachováno. (Zde opět hraje roli antisymetrie $ A$, vyjasněte!) Můžeme také psát (všechny členy této sumy jsou stejné!)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2507 a_P = \frac{1}{2^n n!} \sum_{\pi:\pi(P_0)=P} \prod_{k=1}^n a_{\pi(2k-1),\pi(2k)} \mathrm{zn}\,\pi,$ (276)

kde sumace je přes všechny permutace $ \pi$ přenášející kanonické párování na $ P$.

Všimneme si také, že pro párovaní $ \{2,3\},\{4,5\},\dots,\{2n,1\}$ dostaneme opačnou hodnotu $ a_P$ než pro párování $ P_0$ nahoře. Analogickou úvahu můžeme udělat i uvnitř každého cyklu majícího sudý počet prvků. A můžeme zformulovat náš hlavní výsledek:

Věta. Platí rovnost

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2509 \mathop{\rm det}\nolimits A~= \left(\mathrm{Pf}(A)\right)^2,$ (277)

kde $ \mathrm{Pf} (A) = \sum_P a_P$. Výraz $ \mathrm{Pf} (A)$ se nazývá Pfaffiánem matice $ A$.

Důkaz. Stačí si představit každý cyklus (sudé délky!) z formule

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2511 \mathop{\rm det}\nolimits A~= \sum_{\pi} \prod_{C\in\pi} a_C$ (278)

rozdělen střídavě na dva druhy žeber $ \{i,j\}\in P$: ,,černá'' a ,,bílá''. Není těžké si uvědomit, že každý systém vzájemně neprotínajících se cyklů (o sudém počtu vrcholů) lze takto jednoznačně reprezentovat jako dvojici párování (černé párování a bílé párování).

Ještě zbývá si uvědomit, že máme dva způsoby orientace každého cyklu (delšího než $ 2$), ale také dva různé jeho rozklady na systém ,,černých'' a ,,bílých'' žeber. (Pro cykly délky $ 2$ je to nutno formulovat trochu jinak. V tomto případě je $ C^{-1} \equiv C$. Modifikujte výše uvedenou úvahu podrobně pro tento případ.)

Výraz

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2513 \mathrm{Pf}(A)\ \cdot\ \mathrm{Pf}(A)$ (279)

si nyní budeme představovat jako součin dvou sum: ,,černé'' sumy $ \sum_P a_P$ přes všemožná ,,černá'' párování množiny $ \{1,2,\dots,2n\}$ a analogické ,,bílé'' sumy. Tím je důkaz zakončen, vyjasněte příslušné kombinatorické detaily, zvláště to, jak se násobí znaky příslušných párování a jak to všechno souvisí se znakem $ \pi$.

Příklad.

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2515 \mathop{\rm det}\nolimits \left( \beg...
...-b & -d & 0 & f \\ -c & -e & -f & 0 \\ \end{array} \right) = (- be + cd + af)^2$ (280)

Ověřte výsledek obvyklým výpočtem.

Otázka. Co dostaneme pro případ lichého rozměru matice $ A$?