Populační model

Nechť $ p_n$, resp. $ q_n$, je pravděpodobnost, že ve společnosti (bez sociálních a jiných výkyvů, žijící při vědomí udržitelného rozvoje) se ženě stáří $ n$ let během roku narodí syn, resp. dcera. Nechť $ m_n$, resp. $ z_n$, je naopak pravděpodobnost, že muž, resp. žena, stáří $ n$ let během roku zemře. S výjimkou období těsně po válce apod. obvykle platí, že $ p_n \doteq q_n$, resp. $ q_n$ je nepatrně větší než $ p_n$. Naproti tomu, veličiny $ m_n$$ z_n$ závisejí hlavně na zdravotním stavu populace, resp. úrovni lékařské péče.

Předpokládejme pro přehlednost, že $ p_n=q_n=0$$ m_n=z_n=1$ pro všechna $ n\geq100$. Nechť $ \{x_n(t),y_n(t);$ $ n=0,1,\dots,100\}$ je stav populace v roce $ t$. Veličiny $ x_n(t)$$ y_n(t)$ označují počet v zadaných jednotkách (třeba v miliónech), mužů a žen, které v daném kalendářním roce oslaví $ n$-té narozeniny.

Otázka. Jak se bude v průběhu let měnit vektor

$\displaystyle \{x_n(t),y_n(t); n=0,1,\dots,100\}\,?$

Řešení. Označme symbolem

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2519 A~= \left( \begin{array}{cc} M & S~\\ D & Z~~\end{array} \right)$ (281)

matici, jejíž bloky vypadají následovně. Matice $ M$ (,,mužská'' část $ A$, je to nilpotentní matice!) popisuje úmrtnost mužů a všechny její prvky kromě prvků

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2521 M_{i,i-1} \equiv 1 - m_i$ (282)

jsou nulové.

Obdobně matice $ Z$ má nenulové pouze prvky

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2523 Z_{i,i-1} = 1-z_i.$ (283)

Matice $ S$ (synů) má nenulové prvky pouze v prvním řádku, jsou rovny

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2525 S_{1,i} = p_i$ (284)

a podobně matice $ D$ (dcer) má v prvním řádku prvky

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2527 D_{i,i+1} = q_i$ (285)

a jinde též nuly. Je patrné, že populační vektor $ \{x_n(t),y_n(t)\}$ bude v následujícím roce $ t+1$ splňovat vztah

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2529 \left( \begin{array}{c} x(t+1)\\ y(t+...
...end{array} \right) = A~\left( \begin{array}{c} x(t)\\ y(t) \end{array} \right),$ (286)

kde

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2531 x(t) = \left( \begin{array}{c} x_0(t)...
... y(t)= \left( \begin{array}{c} y_0(t)\\ \vdots\\ y_{100}(t) \end{array} \right)$ (287)

označují stav populace v roce $ t$, $ x(t)$ její mužskou část, $ y(t)$ její ženskou část.

Zdůrazněme ještě jednou podmínku stacionárnosti matice $ A$, tzn. podmínku setrvalosti ,,společenského vědomí'' (nikoliv společenského bytí; populace bude buď expandovat nebo vymírat; viz dále). Jinak bychom nemohli napsat vztah pro jakékoliv přirozené $ n$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2535 \left( \begin{array}{c} x(n)\\ y(n) \...
...array} \right) = A^{n} \left( \begin{array}{c} x(0)\\ y(0) \end{array} \right).$ (288)

Nyní odkazujeme na podrobnější analýzu chování vektoru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2537 x^{(n)} = A^{n}x,$ (289)

z příkladu o hledání ,,největšího'' vlastního vektoru matice.

Zde uvedeme pouze to nejdůležitější. Matice $ A$ je pozitivní a podle Frobeniovy věty je její největší vlastní číslo kladné. Označme jej $ \mu$ (na počest Malthuse). Platí potom obecný vztah (odůvodněte podrobněji)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2539 \left( \begin{array}{c} x(n)\\ y(n) \...
...\end{array} \right) + O\left(\left\vert\frac{\lambda}{\mu}\right\vert^n\right),$ (290)

kde $ \lambda$ označuje druhé největší (v absolutní hodnotě) vlastní číslo matice $ A$. Tedy populace vymírá, či expanduje v závislosti na tom, zda $ \mu<1$, či $ \mu>1$. Podrobnější studium \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{c}
x(n)\\
y(n)
\end{array}\right)\end{displaymath} vede k závěru, že tento populační vektor je násobkem vlastního vektoru příslušejícího vlastnímu číslu $ \mu$. Tedy vlastní vektory lze i experimentálně pozorovat (a to platí nejen v populačních modelech)!