Resolventa matice a operátoru

Nechť $ f:\,{\mathbb{V}}\rightarrow{\mathbb{V}}$ je operátor na (komplexním) prostoru $ {\mathbb{V}}$ a nechť $ A$ je jeho matice (v nějaké bázi). Uvažujme operátorhodnotovou, resp. maticehodnotovou funkci komplexní proměnné

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2542 \{z \rightarrow (zJ-f)^{-1}\}: {\mathbb{C}}\rightarrow {\mbox{{\Cal L}}}(V,V),$ (291)

resp.

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2544 \{z \rightarrow (zJ-A)^{-1}\}: {\mathbb{C}}\rightarrow {\mbox{{\Cal M}}}(n \times n),$ (292)

kde $ {\mbox{{\Cal L}}}(V,V)$ je prostor operátorů na $ {\mathbb{V}}$, resp. prostor matic příslušného rozměru $ n\times n$. $ J$ znamená identický operátor, resp. jednotkovou matici. Tuto funkci budeme v dalším označovat symbolem $ R(\lambda,f)$, resp. $ R(\lambda,A)$. Jde o tzv. resolventu operátoru $ f$, resp. matice $ A$.

Funkce $ R(\lambda,f)$ je zřejmě holomorfní ve všech bodech $ {\mathbb{C}}$ vyjma bodů spektra $ \varrho(f)$. To se snadno ověří pomocí tzv. resolventní rovice

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2546 (zJ-f)^{-1} - (\tilde{z} J - f)^{-1} = (z-\tilde{z}) (zJ-f)^{-1}(\tilde{z}J-f)^{-1},$ (293)

což je snadná analogie (ověřte, že všechny výrazy komutují!) vztahu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2548 \frac{1}{x-f}-\frac{1}{\tilde{x}-f} = -\frac{x-\tilde{x}}{(x-f)(\tilde{x}-f)}.$ (294)

Z této rovnice totiž dále plyne limitním přechodem

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2550 \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}z} (zJ-f)^{-1} = -(zJ-f)^{-2}$ (295)

a podobně odvodíme i pro vyšší derivace vztahy

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2552 \frac{{\mathrm d}^k}{{\mathrm d}z^k} R(z,f) = k!(-1)^k (R(z,f))^{-k+1}.$ (296)

Ke zkoumání chování $ R(z,f)$ v okolí spektra $ \varrho(f)$ použijeme základní větu teorie Jordanova tvaru matice, totiž rozklad (invariantní vůči $ f$)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2554 {\mathbb{V}} = \bigoplus_{\lambda} \mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_{\lambda} f$ (297)

na kořenové podprostory takové, že $ (f-\lambda J):\mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_\lambda f\rightarrow \mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_\lambda f$ je nilpotentní.

Připomeňme, že

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2556 f = \sum_{\lambda\in\varrho(f)} f p_\lambda,$ (298)

kde $ p_\lambda : {\mathbb{V}} \rightarrow \mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_\lambda f$ je projekce na příslušný kořenový podprostor. Je snadné ověřit vztah

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2558 R(z,f) = \sum_{\lambda} R(\lambda , fp_\lambda),$ (299)

kde operátor $ fp_\lambda: \mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_\lambda f \rightarrow \mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_\lambda f$ má jediné vlastní číslo $ \lambda$.

Podívejme se nyní blíže na operátory $ fp_\lambda$. Zvolme nějaké $ \lambda\in\varrho(f)$, přepokládejme, že zvolené $ \lambda=0$ pro jednoduchost značení a podívejme se na Laurentův rozvoj funkce $ R(0,fp_0)$ v okolí takovéhoto kořene $ 0\in\varrho(f)$.

Tím jsme problém převedli na zkoumání Laurentova rozvoje $ R(z,f)$ nilpotentního operátoru $ f$. Ověřte nyní platnost následujícího tvrzení:

Věta. Nechť $ f:{\mathbb{V}}\rightarrow{\mathbb{V}}$ je nilpotentní. Pak lze resolventu $ R(z,f)$ vyjádřit vzorcem

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2560 R(z,f) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{z^{k+1}} f^k,$ (300)

kde $ n$ je takové, že $ f^{n+1}\equiv0$.

Důkaz dostanete ihned ze vzorce pro součet geometrické řady

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2562 (zJ - f)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty z^{-k-1} f^{k}.$ (301)

Vraťme se nyní ještě k studiu obecného operátoru $ f$. Funkce

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2564 R(z,f)-\sum_{\lambda\in\varrho(f)}^{}\sum_{k=0}^{n_\lambda} \frac{1}{(z-\lambda)^{k+1}} (f-\lambda J)^k p_\lambda$ (302)

je holomorfní dokonce i v bodech spektra $ \varrho(f)$, jak plyne z předešlé věty. (Je totiž holomorfní, pokud ji omezíme na $ \mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_\lambda f$ -- díky odečtení hlavní části Laurentovy řady. Na ostatních $ \mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_\mu f$ je holomorfnost funkce $ R(z,f)$ v bodě $ \lambda$ zřejmá.)

Jelikož však limita této funkce v nekonečnu je rovna nule (odůvodněte!), platí (použijeme-li známou větu z teorie holomorfních funkcí, ,,princip maxima'') následující

Věta. Platí rovnost

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2566 R(z,f) = \sum_{\lambda\in\varrho(f)}^{}\sum_{k=0}^{n_\lambda} \frac{1}{(z-\lambda)^{k+1}} (f-\lambda J)^k p_\lambda,$ (303)

kde $ n_\lambda$ je zvolené tak, aby platilo $ (f-\lambda J)^{n_\lambda+1} \equiv 0$ na $ \mathop{\textrm{Ker}}\nolimits_\lambda(f)$. (Délka nejdelšího Jordanova řetězce příslušejícího vlastnímu číslu $ \lambda$.)

Cvičení. Je-li dána Jordanova báze $ f$, zjistěte matici $ R(z,f)$ vůči této bázi a diskutujte též Jordanův tvar $ R(z,f)$.