Signatura kvadratické formy

Určete signaturu kvadratické formy

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2569 Q(x) = x_1 x_2 + x_1x_3+ \dots + x_2x_1+\ldots + x_{n-1}x_{n}.$ (304)

(Pozor, neplést s maticí tvaru cirkulantu. Toto je mnohem jednodušší úloha!)

Řešení. Jelikož je

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2571 2Q(x) = \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2 - \sum_{i=1}^{n}x_i^2,$ (305)

zdálo by se, že ,,substituce'' $ y_i=x_i$, $ i=0,\dots,n$ $ y_{n+1} =
x_0+\dots+x_n$ řeší problém okamžitě. Potíž je v tom, že souřadnice $ y_0,\dots,y_{n+1}$ ,,nejsou nezávislé''. Avšak na $ (n-1)$-rozměrném prostoru $ \{(x_1,\dots,x_n):\sum x_i=0\}$ (ortogonální doplněk k vektoru $ (1,\dots,1)$) je forma zřetelně negativně definitní. Na podprostoru $ \{
(t,\dots,t),t\in{\mathbb{R}}\}$ je naopak zřetelně pozitivně definitní.

Jak nyní dojít k závěru co nejpohodlněji? V prostoru $ W = u^{\bot}$, kde $ u = (1,\ldots,1)$ je $ Q$ negativně definitní (ověřte také, že $ W$ je invariantní podprostor matice $ Q$). Diagonalizujeme $ Q$ na prostoru $ W$ a příslušnou bázi rozšíříme vektorem $ u$ na bázi celého $ {\mathbb{R}}^n$ (diagonalizující $ Q$ se signaturou $ (n-1,1)$).