Signatura cyklické kvadratické formy

a)
Určete signaturu a diagonalizujte kvadratickou formu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2589 Q(x) = x_0 x_1 + x_1 x_2 + \dots + x_{n-1}x_{0},$ (313)

kde $ x_k\in{\mathbb{R}}$ pro $ k=0,1,\dots,n-1$.

b)
Obecněji diagonalizujte Hermitovskou formu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2591 Q(x,y) = \sum_{k,l=0}^{n-1} a_{\vert k-l\vert} x^k \bar {y}^l,$ (314)

kde koeficienty $ a_{\vert k\vert}$ jsou reálné, množinu indexů $ \{0,1,\dots,\allowbreak {n-1}\}\equiv$   {\bb Z}$ _n$ identifikujeme jako cyklickou grupu a vzdálenost $ \vert{k-l}\vert=\min(\vert k-l\vert,n-\vert k-l\vert)$.

Řešení. Jde o symetrický (Hermitovský) cirkulant, a diagonalizace $ Q$ bude založena na metodě podobné té, která se používá pro výpočet determinantu (i nesymetrického) cirkulantu. Reprezentujeme formu $ Q$ operátorem konvoluce (s jádrem $ \{a_k,k\in$   {\bb Z}$ _n\}$)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2595 (Tx)_k = \sum_{l\in \mbox{{\bb Z}}_n}^{} a_{k-l} x_l,$ (315)

kde $ a_k=a_{-k}(=a_{\vert k\vert})$. Potom je pro libovolné $ x\in {\mathbb{C}}^{\mbox{{\bb Z}}}_n$, $ y\in {\mathbb{C}}^{\mbox{{\bb Z}}}_n$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2597 Q(x,y) = (x,Ty),$ (316)

kde $ (x,y)$ označuje obyčejný, translačně invariantní skalární součin na {\bb Z}$ _n$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2599 (x,y) = \sum_{k=0}^{n-1} x_k \bar{y}_k.$ (317)

Jde tedy v zásadě o diagonalizaci konvolučního operátoru $ T$ (viz skripta, strana $ 256$). Specifické na této úloze je fakt, že operátor $ T$ je navíc symetrický (jeho jádro splňuje vztah $ a_k=a_{-k}$). Obecná teorie říká (a my můžeme snadno ověřit), že vektory

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2601 \varphi_\xi = \{(\varphi_\xi)_k,\ k=0,1,\dots,n-1 \},$ (318)

kde $ (\varphi_\xi)_k= e^{2\pi i\xi k}$$ \xi$ je tvaru $ \xi=\frac{m}{n}$, $ m=0,1,\dots, n-1$ jsou vlastními vektory operátoru posunu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2603 (Px)_k = x_{k+1},\ k=0,1,\dots,n-1.$ (319)

Tento operátor komutuje s operátorem $ T$, takže $ \varphi_\xi$ jsou také vlastními vektory $ T$ a platí zřejmě

$\displaystyle (T\varphi_\xi)_k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{l\in \mbox{{\bb Z}}_n}^{} e^{2\pi i\xi l} a_{k-l}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{2\pi i~k} \hat{a}(\xi) = (\varphi_\xi)_k \hat{a}(\xi),$ (320)

kde

$\displaystyle \hat{a}(\xi) = \sum_{j\in \mbox{{\bb Z}}_n}^{} e^{2\pi i~\xi j} a_j %= \sum_{j\in \Z_n}^{} \cos (2\pi j\xi) a_j
$ (321)

je reálné číslo, protože $ a_j=a_{-j}$.

Shrnujeme. V bázi dané komplexními vektory $ \varphi_\xi$ má operátor vlastní čísla $ \hat{a}(\xi)$ -- ta jsou dvojnásobná pro $ \xi \notin {\mathbb{R}}$. Vezmeme-li nyní reálnou bazi $ {\mathbb{R}}^{\mbox{{\bb Z}}}_n$ složenou z dvojic vektorů

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2607 \left( (\cos 2\pi\xi k),(\sin 2\pi\xi k)\right),\ k=0,1,\dots,n-1$ (322)

vidíme, že spektrum $ T$ je dáno prvky

$\displaystyle \hat{a}(\xi)(=\hat{a}(-\xi))=\sum_{j\in \mbox{{\bb Z}}_n}^{}
\cos (2\pi j\xi) a_j.$

Ve speciálním případe $ a)$ je $ a_{\vert 1\vert}=1$, $ a_{\vert k\vert}=0$ pro $ \vert k\vert\neq1$ a tedy

$\displaystyle \hat{a}(\xi) = \cos 2\pi \frac{m}{n}$ (323)

pro $ \xi=\frac{m}{n}$, $ m=0,1,\ldots,n-1$.

Závěr (pro případ $ a)$) tedy zní, že příslušná reálná forma se diagonalizuje v bazi dané vektory $ \{\cos 2\pi \xi k\}$, $ \{\sin
2\pi\xi k\}$ s vlastními čísly danými (336).

Obecně, v případě $ b)$, potom tabulkou čísel $ \hat{a}(\xi)$ z (334).