Přibližný výpočet $ A^n x$

Zjistěte přibližnou hodnotu vektoru $ A^n x$, kde $ A$ je matice rozměru $ m\times m$$ x$ je sloupcový vektor.

Předpoklad. Omezíme se zde pouze na případ matic splňujících požadavek, že největší prvek spektra $ \varrho(A)$ matice $ A$ je reálný, tzn. přesněji $ \mathop{\textrm{max}}\nolimits_{\lambda\in\varrho(A)}\vert\lambda\vert$ se nabývá pro nějaká reálné $ \lambda$ a pro ostatní (i komplexní) $ \mu\in\varrho(A)$, $ \mu\neq\lambda$ platí $ \vert\mu\vert<\vert\lambda\vert$.

Tento předpoklad je splněn dle Frobeniovy věty například pro matice s nezápornými prvky. V takovém případě je ,,největší vlastní číslo'' $ \lambda$ dokonce kladné a jednoduché. My však budeme obecněji přepokládat, že Jordanovy buňky odpovídající takovémuto $ \lambda\in\varrho(A)$ jsou obecně netriviální, tzn. existuje vektor $ v$ takový, že posloupnost $ v,$ $ (f - \lambda J)v,$ $ (f - \lambda J)^2 v,\dots$ má popřípadě i více než jeden netriviální prvek. Tedy

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2612 (f-\lambda J)^{k-1}v \neq 0,\qquad(f-\lambda J)^k v~= 0$ (324)

platí pro nějaké $ k\geq1$, ne nutně $ k=1$. Předpokládejme pro jednoduchost zápisu, že řetězec příslušející vlastnímu číslu $ \lambda$ je jenom jeden.

Nechť $ x$ je nějaký vektor z  $ {\mathbb{R}}^m$. Tedy platí

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2619 x = \sum_{l=0}^{k-1} \alpha_l(A-\lamb...
...mbda}\sum_{m}^{}\sum_{l=0}^{k_{m,\mu}} \beta_{l}^{m,\mu} (A-\mu J)^l w_{\mu,m},$ (325)

kde $ w_{\mu,m}$ jsou počáteční vektory Jordanových řetězců příslušících vlastním číslům $ \vert\mu\vert<\vert\lambda\vert$. Přiložme zleva matici

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2621 A^n = (A-\lambda J + \lambda J)^n = \sum_{p=0}^{n} {n \choose p} (A-\lambda J)^{p}\lambda^{n-p}$ (326)

k výrazům rovnosti uvedené výše. Je patrné, že nejdůležitějšími členy napravo budou

\begin{multline*}%nolabel
A^n x = \alpha_0 {n \choose k-1} \lambda^{n-k+1} (A-\l...
..._0 {n \choose k-2}\lambda^{n-k+2} (A-\lambda J)^{k-2} v~+ \dots,
\end{multline*}

kde další členy typu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2625 \alpha_l{n \choose p} \lambda^{n-p} (A-\lambda J)^{l+p} v~$ (327)

nebo dokonce

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2627 \beta_l^{m,\mu} (A-\mu J)^{l+p} {n \choose p} \mu^{n-p} w_{\mu,m}$ (328)

jsou již asymptoticky mnohem menší (řádově $ n$-krát), ovšem za předpokladu $ \alpha_0\neq 0$.

Tedy platí

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2629 A^n x = A^{n-1} \frac{n}{n-k} \lambda (x+\dots)$ (329)

z čehož dostáváme vztah

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2631 \lambda = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{A^n x}{A^{n-1} x}.$ (330)

(Co rozumíme ,,dělením'' vektorů? Objasněte! -- Dělíme mezi sebou příslušné souřadnice; limita výrazu vyjde stejná.) A při troše další snahy spočteme i hodnotu $ k$, tedy délku nejdelšího Jordanova řetězce odpovídajícího vlastnímu číslu $ \lambda$. Aplikujeme zde variantu ,,Raabeho kriteria'' z teorie řad (podrobnosti necháváme čtenáři):

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2634 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(A^n x - \lambda A^{n-1} x)}{A^{n} x} = k.\\ $ (331)