Ortogonalizace posloupnosti

Ortogonalizujte posloupnost (délka všech řádků je rovna nějakému pevnému číslu $ N$) ve standardním skalárním součinu na $ {\mathbb{R}}^N$.

$\displaystyle v_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (1,-1,0,0,\ldots)$  
$\displaystyle v_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (0,1,-1,0,\dots)$  
$\displaystyle v_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (0,0,1,-1,\dots)$  
  $\displaystyle \vdots$   (332)

Řešení. Není těžké si uvědomit, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé (například Gaussovou eliminací). Uvědomme si dále, že vektory $ v_1,\dots,v_k$ generují prostor $ {\mathbb{V}}_{\!k}$ všech vektorů typu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2638 (x_1, x_2, \dots, x_{k+1}, 0, 0,\dots),$   kde$\displaystyle \quad \sum_{i=1}^{k+1} x_i = 0.$ (333)

Jakýkoliv vektor typu $ (x_1, \dots, x_{k+1}, x_{k+2}, \dots)$ kolmý na $ {\mathbb{V}}_{\!k}$ musí mít tvar $ (x_1 = x_2 = \dots = x_{k+1} = c)$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2640 w = (c,c,\dots,c,x_{k+2},\dots)$ (334)

a odtud pro $ (k+1)$-ní prvek Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu vychází
$\displaystyle w_{k+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{1}{k+1},\frac{1}{k+1},\dots,\frac{1}{k+1},-1,0,\dots\right)=$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{k+1} + z_{k+1},\qquad{\mathrm kde}\quad z_{k+1} \in {\mathbb{V}}_{\!k}.$ (335)

Úloha připouští následující zobecnění:

Volíme-li posloupnost

$\displaystyle v_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_{11} , -a_{11} , 0 , 0 , 0 , \ldots),$  
$\displaystyle v_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_{21} , a_{22} , -a_{21}-a_{22} , 0 , 0 , \dots),$  
$\displaystyle v_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_{31} , a_{32} , a_{33} , -a_{31}-a_{32}-a_{33} , 0 ,\ldots),$  
  $\displaystyle \vdots$   (336)

vychází ortogonalizovaná posloupnost stejně jako nahoře.