Ortogonalizace posloupnosti funkcí

Ortogonalizujte posloupnost funkcí $ 1$, $ \cos x$, $ \cos^2 x$,...v skalárním součinu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2643 (f,g) = \int_0^\infty f(x) g(x)\;{\mathrm d}x.\\ $ (337)

Řešení. Na funkce $ v_0(x) = 1$, $ v_1(x) = \cos x$, $ v_2(x) = \cos^2 x$,..., $ v_n(x) = \cos^n x$ chceme tedy aplikovat Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces.

Funkce $ v_0$$ v_1$ jsou na sebe zřejmě již kolmé, začneme tedy s hledáním konstant $ a$, $ b$ tak, aby funkce

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2645 w_2(x) = v_2(x) + av_1(x) + bv_0(x)$ (338)

byla kolmá na $ w_2\equiv v_2$ $ w_1\equiv v_1$. Vyjde (proveďte detailně)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2647 w_2(x) = \cos^2 x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos 2x.$ (339)

To vede k hypotéze, že by mohlo platit $ w_n(x) = c_n\cos nx$ pro ortogonalizovanou funkci $ w_n(x)$ odpovídající $ v_n(x)$. Vskutku

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2649 \cos^n x = \frac{1}{2^n} (e^{ix} + e^...
...{1}{2^{n-1}}\sum_{l=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor} {n \choose l} \cos\,(n-2l)x$ (340)

Víme podle indukčního předpokladu, že být kolmý na soubor funkcí $ \{1,\cos x,\dots,$ $ \cos^{n-1} x\}$ je to samé jako být kolmý na soubor funkcí $ \{1,\cos 2x,\dots,\cos(n-1)x\}$ a to dává důkaz indukčního kroku a tedy i ohlašovaný výsledek.

Kolik vyjde $ c_n$?