Tělesa modulo prvočíslo

Úkol: Dokažte, že {\bb Z}$ _p=\{0,\ldots,p-1\}$ je pro $ p$ prvočíslo komutativní těleso s operacemi sčítání a násobení modulo $ p$. Proč je potřeba žádat, aby bylo $ p$ prvočíslo?


Řešení: Asociativita, existence neutrálních prvků a komutativita jak sčítání tak i násobení a existence inverzních prvků vzhledem k sčítání je zřejmá. Zbývá tedy dokázat existenci inverzních prkvů vzhledem k násobení. Pro $ i=1,\ldots,p-1$ uvažme následující zobrazení: $ f_i(x)=ix
\bmod p$. Nejprve ukážeme, že $ f_i$ je na množině $ \{0,1,\ldots,p-1\}$ prostá funkce. Nechť tomu tak není a tedy existují $ x_1\not=x_2$ takové, že $ f_i(x_1)=f_i(x_2)$, a tedy $ p$ dělí $ f_i(x_1)-f_i(x_2)=i(x_1-x_2)$. Protože $ p$ je prvočíslo a $ 0< i<p$ musí nutně platit $ p$ dělí $ x_1-x_2$. Z toho okamžitě plyne $ x_1=x_2$. Funkce $ f_i$ je tedy prostá, ale protože zobrazuje $ p$ různých čísel do množiny $ p$ čísel, je nutně bijektivní. Potom ale existuje $ x$, že $ f_i(x)=1$ a toto $ x$ je hledaný inverzní prvek vzhledem k $ i$ vůči násobení (tento důkaz je shrnut také v příkladu 2.3). Tím je důkaz, že {\bb Z}$ _p$ je těleso, hotov.

Pokud $ p$ není prvočíslo, tvoří množina $ \{0,\ldots,p-1\}$ se sčítáním a násobením pouze komutativní okruh. Pokud je totiž $ p=p_1p_2$, $ p_{1,2}>1$, pak pro žádný násobek $ p_1$ či $ p_2$ neexistuje inverzní prvek vůči násobení. Důkaz je jednoduchý: nechť platí $ \alpha
p_1=1\bmod p$, tedy $ \alpha p_1=kp+1$ pro nějaké $ k\in${\bb Z}. Tato rovnost ale dává okamžitě spor $ 1=0\bmod p_1$.

$ \ast$DK$ \ast$