Goniometrický Vandermondův determinant

Vypočtěte determinant matice

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2652 A~= \left(\begin{array}{ccc} 1 & \ldo...
...ots & \vdots \\ \cos n\alpha_0 & \ldots & \cos n\alpha_n \\ \end{array}\right).$ (341)

Řešení. Úlohu převedeme na výpočet (Vandermondova) determinantu matice

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2654 B = \left(\begin{array}{ccc} 1 & \ldo...
...ots & \vdots \\ \cos^n\alpha_0 & \ldots & \cos^n\alpha_n \\ \end{array}\right).$ (342)

Připomínáme, že je

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2656 \mathop{\rm det}\nolimits B = \prod_{i<j} (\cos \alpha_j - \cos \alpha_i).$ (343)

Použitím vzorce $ \cos x = \frac{1}{2} (e^{ix} + e^{-ix})$, tedy

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2658 \cos^n x = \frac{1}{2^{n-1}} \cos nx + \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=1}^{n-1} {n \choose k} \cos\,(n-2k)x,$ (344)

můžeme hledaný determinant $ \mathop{\rm det}\nolimits A$ vyjádřit z rovnice

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2660 \mathop{\rm det}\nolimits B = \prod_{...
...\mathop{\rm det}\nolimits A~=2^{-\frac{1}{2}n(n-1)}\mathop{\rm det}\nolimits A.$ (345)

(proveďte příslušné řádkové úpravy matice $ B$ detailně).