Systémy oscilátorů s vnější silou typu $ \delta $-funkce

Toto je cvičení na pojem $ \delta $-funkce (distribuce) a jeho užití při řešení rovnice oscilátoru. Představme si třeba rovnici jednoho oscilátoru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2664 \ddot{y} + ay = \delta_0$ (346)

nebo

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2666 \ddot{y} + ay = \sum_{k\in{\mathbb{N}}} \delta_k,$ (347)

tedy situaci, kdy do oscilátoru ,,kopneme'' v čase $ t=0$, resp. podrobujeme oscilátor periodické sérii takovýchto nárazů.

Obecněji prozkoumáme řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic (pouze prvního typu nahoře)

$\displaystyle \dot{x} = Ax + \delta_0(t)v,$ (348)

kde $ v\in{\mathbb{R}}^n$$ A$ je matice rozměrů $ n\times n$. Předpokládejme zde pro přehlednost, že $ A$ je diagonalizovatelná, tzn. existují vlastní vektory $ A v_\lambda=\lambda v_\lambda$ tvořící basi $ {\mathbb{R}^n}$. (Případ vícenásobných kořenů vyžaduje jen malou modifikaci značení; případ netriviálních Jordanových buněk je v zásadě obdobný, ale s poněkud komplikovanější diskusí.)

Řešení. Jakékoliv řešení soustavy % latex2html id marker 88691
$ (\ref{vztah_v_Systemy_oscilatoru})$ se musí pro $ t\ne0$ chovat jako řešení homogenní soustavy $ \dot{x}=Ax$. Tedy existují koeficienty $ c^{\pm}_\lambda$ takové, že

$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_\lambda c^{+}_\lambda v_\lambda e^{\lambda t},\qquad t>0,$ (349)
$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_\lambda c^{-}_\lambda v_\lambda e^{\lambda t},\qquad t<0.$ (350)

Odečtením homogenního řešení $ \sum_\lambda c^{-}_\lambda v_\lambda e^{\lambda t}$ pro všechna $ t\in {\mathbb{R}}$ redukujeme problém na případ $ c^{-}_\lambda\equiv0$.

Z teorie distribucí je potom známo (obvykle se zkoumají pouze skalární funkce a jejích zobecněné derivace, případ vektorových funkcí je však snadnou analogií), že

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2668 \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\sum_{\...
...ambda t}\bigg\vert _{t>0} = \sum_{\lambda}^{} c^{+}_\lambda v_\lambda \delta_0.$ (351)

Tedy stačí zvolit koeficienty tak, aby

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2670 \sum_{\lambda}^{} c^{+}_\lambda v_\lambda = v$ (352)

a řešením soustavy % latex2html id marker 88722
$ (\ref{vztah_v_Systemy_oscilatoru})$ je nalezeno.