Resonance v soustavách lineárních diferenciálních rovnic

Zkoumejme řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic.

$\displaystyle \dot{x} = Ax + \cos (\omega t)v, \quad\textrm{resp\ }\dot{x} = Ax + e^{i\omega t}v,$ (353)

kde $ x=x(t)$, $ t\in {\mathbb{R}}$, je vektorová funkce s hodnotami v  $ {\mathbb{R}}^n$, resp. $ {\mathbb{C}}^n$$ A$ je reálná matice rozměrů $ n\times n$. (Jako příklad lze vzít rovnici jednoho oscilátoru $ \ddot{y}=ay+\cos(\omega t)$. Zopakujte, jak převést takovouto rovnici na systém dvou rovnic $ 1.\,$řádu.)

Řešení. Použijeme metodu ,,variace konstanty'', tzn. budeme hledat řešení ve tvaru $ \exp(tA)\cdot c(t)$, kde $ c(t)\in{\mathbb{C}}^n$ je nějaká vektorová funkce. Dosazením do druhé rovnice % latex2html id marker 88747
$ (\ref{vztah_v_Resonancii})$ máme

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2673 \dot{c}(t) = \exp(-tA)e^{i\omega t}v.$ (354)

Rozložme vektor $ v$ do Jordanovy báze matice $ A$. Pro jednoduchost zápisu přepokládejme, že vektor $ v$ je již přímo roven nějakému prvku Jordanovy báze, takovému, že pro jisté $ k\in {\mathbb{N}}$ platí

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2675 (A-\lambda J)^k v~= 0.$ (355)

Počítejme

$\displaystyle c(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{}^{} \dot{c}(t)\;\textrm{d}t = \int_{}^{}\exp(-tA)e^{i\omega t}v\;\textrm{d}t =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{}^{}e^{i\omega t} e^{-\lambda t}\exp(-t(A-\lambda J))v\;\textrm{d}t.$ (356)

Zvláště jednoduchý a důležitý je případ $ k=1$, omezme se v dalším na něj. To zahrnuje situaci, kdy všechna vlastní čísla $ A$ jsou jednoduchá.

Potom je

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2677 c(t) = \int_{}^{}e^{i\omega t} e^{-\lambda t}v\,\textrm{d}t = \frac{1}{i\omega-\lambda}e^{(i\omega-\lambda)t}v,$ (357)

tedy

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2679 x(t) = \exp(tA) c(t) = \frac{1}{i\omega-\lambda}e^{i\omega t}v,$ (358)

tedy amplituda řešení je $ \frac{1}{\vert i\omega -\lambda\vert}$. (Čím blíže je $ i\omega$ spektru $ A$, tím silnější je odpověď daného systému na vnější sílu o kruhové frekvenci $ \omega$.)

Tomuto jevu (když $ i\omega\doteq\lambda$) se říká resonance a objevuje se i pro obecnější pravé strany rovnice $ \dot{x}=Ax+f(t)$. Přesněji řečeno jde pak o studium Fourierova rozkladu (periodické) funkce $ f(t)$ a o to, zda frekvence některých členů tohoto rozkladu neleží ,,nebezpečně blízko'' spektru $ A$. Znáte-li již něco z teorie Fourierovych řad, proveďte příslušnou analýzu rovnice $ \dot{x}=Ax+f(t)$ podrobněji!

Dodatek. Pro případ netriviální Jordanovy buňky řešme soustavu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2681 \dot{x} = Ax + e^{\omega t}v,$ (359)

kde $ (A-\lambda E)^k v=0$. Analogicky, jako nahoře, dostaneme

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2683 \dot{c}(t) = \exp(-At) e^{\omega t}v,$ (360)

tedy

\begin{multline*}%nolabel
c(t) = \int_{}^{} e^{(\omega-\lambda)t}
\sum_{l=0}^{k-...
...\lambda)t}\frac{(A-\lambda E)^{k-1} v~t^{k-1}}{(k-1)!} + \ldots,
\end{multline*}

píšeme-li pouze vedoucí člen s nejvyšši mocninou $ t$. Tedy máme

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2688 x(t) = \frac{1}{\omega-\lambda}e^{\omega t} t^{k-1}(1+o(t))(A-\lambda E)^{k-1}v,$ (361)

kde $ (A-\lambda E)^{k-1}v$ je vlastní vektor $ A$.