Několik číselných příkladů na řešení lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty

Výsledky zde neuvádíme, k cíli vždy vede standardní postup, tzn. rozklad počáteční podmínky do Jordanovy báze (matice dané soustavy).

Pro pohodlí čtenáře však u většiny příkladů uvádíme zmínku o hodnotách spektra matice soustavy. To mu umožní koncentrovat se na výpočty hodností matic $ (A-\lambda J)^k$ a na nalezení příslušné Jordanovy báze.

Příklad. 1.Řešte soustavu $ \dot{x}=Ax$ s maticemi

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 1 \\
1...
... & -1 & -1 \\
\end{array}\right)_{\quad(0,?,?)}\\
\end{array}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\left(
\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & -2 \\
...
...3 & 3 & -1 \\
\end{array}\right)_{\quad(0,?,?)}\\
\end{array}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 0 \\
0 ...
...2 & 0 & 3 \\
\end{array}\right)_{\quad(1,-1,?)}\\
\end{array}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\left(
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & -1 \\
...
...-1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)_{\quad(1,?,?)}\\
\end{array}\end{displaymath}

2.Řešte soustavy druhého řádu

$\displaystyle \ddot{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2x - 3y,$  
$\displaystyle \ddot{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x - 2y_{\quad(1,i,?)};$ (362)


$\displaystyle \ddot{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3x + 4y,$  
$\displaystyle \ddot{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -x - y_{\quad(1,-1,?)}.$ (363)

3.Řešte soustavu

$\displaystyle \ddot{x} + 5 \dot{x} + 2\dot{y} + y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0,$  
$\displaystyle 3\ddot{x} + 5\dot{x} + \dot{y} + 3y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0_{\quad(1,-1,?)}.$ (364)