Převedení obdélníkové matice $ (A \vert B)$ na tvar $ (\mathbbm{1}\vert A^{-1}B)$. Co všechno z toho plyne.

Cílem této úlohy je upozornit na širokou použitelnost jednoho ze základních algoritmu ,,elementární lineární algebry'': jde o metodu řádkových úprav obdélníkové matice typu ($ A \vert B$) s "pivotním" (řídícím) členem (coz je nejaká ctvercová regulární matice) $ A$.

Úkol: Nechť $ A$ je čtvercová regulární matice rozměru $ n\times n$. Nechť $ B$ je další matice rozměru $ n\times m$. Napíšeme si obdélníkovou matici $ (A \vert B)$ a najdeme posloupnost řádkových úprav takovéto ,,rozšírené'' matice tak, abychom dostali matici tvaru

$\displaystyle (A\vert B)\ \stackrel{{\mbox{řádkové}}\atop {\mbox{úpravy}}}{\longrightarrow}
 \ (\mathbbm{1}\vert C) = (\mathbbm{1}\vert A^{-1}B).$ (365)

Vysvětlete, proč platí $ C=A^{-1}B$ a ukažte, jak lze tento postup použít v následujících úlohách:
  1. nalezení inverzní matice
  2. řešení soustavy rovnic $ Ax = b$
  3. nalezení podobné matice $ A^{-1}DA$ a obecněji řešení maticové rovnice $ AX = B$ pro regulární matici $ {A}$
  4. nalezení matice $ A$ zobrazení $ f$, které je určené nejrůznějšími předpisy (obvykle zadanými, pro ,,nálezité zmatení rešitele'', ve zcela jiných bazích, než vuci kterým hledáme matici $ A$)


Řešení: Připomeňme, že pokud nasměrujeme řádkové úpravy matice $ (A \vert B)$ tak, abychom časem dostali matici $ (\mathbbm{1}\vert C)$ musí platit $ C=A^{-1}B$. Skutečně, představíme-li si prováděné řádkové úpravy jako násobení vhodnými maticemi $ M_{1},M_{2},...,M_{n}$ (v tomto pořadí) zleva musí potom být

$\displaystyle (\mathbbm{1},C)=M_{n}\cdot\cdot\cdot M_{1}(A \vert B) =
(M_{n} \cdot\cdot\cdot M_{1}A \vert M_{n}\cdot\cdot\cdot M_{1}B)\,,$

tedy $ M_n \cdot \cdot \cdot M_1 = A^{-1}$ a $ M_n \cdot \cdot \cdot M_1B = A^{-1}B$.


1-3. Nyní je možné diskutovat případy $ B = \mathbbm{1}$ (bod 1), $ B = b$ (bod 2), obecné obdélníkové matice $ B$ (bod 3), speciálne pak výpočet podobné matice $ A^{-1}DA$ (pro $ B=DA$).

Řešíme-li několik úloh typu 2,3 najednou, je vhodné všechny uvažované matice $ B$ napsat do jednoho dlouhého obdélníku tvaru $ (A
\vert B_1, B_2, ..., B_n)$. Zdůrazněme, že ,,aktivní'' částí této tabulky je matice $ A$, která ,,řídí'' proces postupných řádkových úprav, zatímco části $ B_1, ..., B_n$ se pak již pouze ,,opičí'' po tom, jaké řádkové úpravy dělá matice $ A$.


4. Nejobecněji může být takováto úloha formulována asi následujícím zpusobem. Nechť $ (a_1,...,a_n)$ a $ (b_1, ...,b_n)$ jsou různé báze prostoru $ V$. Nechť operátor $ f: V \rightarrow V $ je vůči bazím $ (a_1,...,a_n)$ a $ (b_1, ...,b_n)$ popsán následujícími vztahy:

Ve všech techto úpravách je výhodné pro vyjasnen´ i zápisu pouzívat následující konvenci zápisu transformacních vztahu83: Vztahy $ \tilde a_i = \sum_j{\lambda_{ji} a_j}$ a $ f(\tilde a_i) = \sum_j{\mu_{ji}b_j}$ zapisujeme ve tvaru

$\displaystyle (\tilde a_1, ..,\tilde a_n) = (a_1, ...,a_n)L $

a

$\displaystyle (f(\tilde a_1), ...,f(\tilde a_n)) = (b_1, ...,b_n)M .$

Obdobne píšeme

$\displaystyle (c_1, ...,c_n) = (a_1, ...,a_n)A $

$\displaystyle (d_1, ...,d_n) = (b_1, ...,b_n)D $

s příslušnými ,,maticemi přechodu'' $ A$, $ D$. Píšeme nyní dále (oduvodnete, proc ty vztahy platí)

$\displaystyle (f(c_1), ...,f(c_n)) = (f(a_1), ..,f(a_n))A
=(f(\tilde a_1), ...,f(\tilde a_n)) L^{-1}A $

$\displaystyle = (b_1, ..,b_n)ML^{-1}A
= (d_1, ...,d_n)D^{-1} ML^{-1}A,$

takže dostáváme vztah $ X =D^{-1}ML^{-1}A$.

Konkrétně $ X$ vypočteme takto: Matici $ (L\vert A)$ řádkově upravíme do tvaru $ (\mathbbm{1}\vert L^{-1}A)$. Vzniklou matici $ L^{-1}A$ zleva vynásobíme $ M$ a nakonec matici $ (D \vert ML^{-1}A)$ řádkově upravíme na $ (\mathbbm{1}\vert D^{-1}ML^{-1}A)$.

Shrnutí: K výpočtu součinu čtvercových matic tvaru $ X = A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_n $, kde pro každé $ k=1, ...,n$ máme zadánu buď matici $ A_k$, nebo matici $ A_k^{-1}$, potřebujeme právě $ n$ operací typu buď i) vynásobení dvou matic nebo ii) převedení obdélníku $ (A \vert B)$ na tvar $ (\mathbbm{1}, A^{-1}B)$.

Poznamenejme na záver, ze alternativne můžeme používat samozrejme i odpovídajících sloupcových úprav: V případě $ D = \mathbbm{1}$ (baze $ \{b_i\}$ a $ \{d_i\}$ jsou totožné) můžeme například vzít matici $ {M \choose L}$, sloupcově ji upravit do tvaru $ {\mathbbm{1}\choose Y}$, kde $ Y = LM^{-1}$, a nakonec vzít matici $ YA
= LM^{-1}A$.