Minima kvadratických forem a systémy mnoha spřažených harmonických oscilátorů

Úkol: Úlohu najít minimum funkce $ F(x) = ax^2 + bx , a>0$ umí vyřešit jistě každý, kdo otevře tuto knihu. Chceme zde upozornit, že tato zdánlivě triviální úloha sice zůstává triviální i ve vícerozměrném případě, tam už ale má docela zajímavé, ba netriviální aplikace!

Ve vícerozměrném případě máme pochopitelne zadánu symetrickou pozitivně (semi)definitní matici $ A$ rozměru $ n\times n$, dále máme zadán nejaký vektor $ b = (b_1, ..., b_n)$ a zkoumáme absolutn´ i či podmínená minima kvadratické formy

$\displaystyle (Ax,x) = \sum_{i,j = 1}^{n}a_{ij}x_ix_j$ (366)

respektive obecneji lineárně kvadratické formy

$\displaystyle (Ax,x) + (b,x) = \sum_{i,j = 1}^n a_{ij}x_ix_j + \sum_{i = 1}^n b_ix_i$ (367)

jakožto funkce proměnných $ x_1, ..., x_n \in$   {\bb R}.


Řešení: Taková úloha vzniká v mnoha situacích, třeba hledáme-li tečnou (nad)rovinu k zadané kvadrice (řekněme elipsoidu nebo paraboloidu) rovnobežnou se zadanou nadrovinou. Mnohem zajímavější interpretace ale dostaneme později při zkoumání minim energie systému spřažených oscilátorů (viz níže, takové modely pocházejí z kvantové teorie pole). Nejprve však úlohu (380) vyřešme.

Tak jako v jednorozměrném případě, je možno použít dvou metod:

První metoda: Derivace výrazu $ (Ax,x) + (b,x)$ podle zvolené proměnné $ x_{i_0} $ je rovna

$\displaystyle {\partial \over \partial x^{i_0}} \big((Ax,x) + (b,x)\big) = {\pa...
...{i_0}} \left( \sum_{i,j = 1}^{n}a_{ij}x_ix_j + \sum_{i
=1}^n b_ix_i \right) = $

$\displaystyle = 2 \sum_{j = i_0}^n a_{i_0j}x_j + 2a_{i_0i_0}x_{i_0} + b_{i_0}; $

pozor na ty dvojky, objevují se zde z různých důvodů: $ a_{ij} + a_{ji}
= 2a_{ij} $ resp. $ ((x_{i_0})^2)' = 2x_{i_0}$.

Takže minimum výrazu $ (Ax,x) + (b,x)$ nastane v bodě $ x = (x_1,
..., x_n) $, kde platí $ 2Ax + b = 0 $, neboli pro vektor $ x = -{1 \over
2} A^{-1}b$.

Druhá metoda: Stejný výsledek dostaneme i metodou "doplnění na čtverec". Označme symbolem $ B = \sqrt A$ odmocninu z matice $ A$. Připomeňme, že matici B definujeme pomocí spektrálního rozkladu $ A = ODO^T$, kde matice $ O$ je ortogonální, $ O^T =O^{-1}$, a matice $ D$ je diagonální (s kladnými prvky na diagonále v případě pozitivní definitnosti $ A$). Položíme potom $ B = O\sqrt D O^T $, pričemž je jasné, jak definujeme $ \sqrt D$.

A nyní již pokračujeme téměř doslovně tak jako v jednorozměrném případě:

$\displaystyle (Ax,x) + (b,x) = (Bx,Bx) + (B^{-1}b,Bx),$

využíváme zde symetrie matice $ B$,

$\displaystyle = (Bx + {1 \over 2}B^{-1}b, Bx +{1 \over 2}B^{-1}b)
- {1 \over 4}(B^{-1}b,B^{-1}b) =
$

$\displaystyle =\vert \vert Bx+{1 \over 2}B^{-1}b \vert \vert ^2
-{1 \over 4}(A^{-1}b,b),$

Minimum tedy nastává, pokud $ Bx+\frac{1}{2}B^{-1}b=0$, neboli $ x = -{1 \over
2} A^{-1}b$. Takto jsme spočetli nejen, kde se minimum nachází, ale i jeho hodnotu: $ -{1 \over 4}(A^{-1}b,b)$.