Interpretace výsledku úlohy 20.25 pro systém spřažených oscilátorů. Feynman-Kacova formule.

Kvadratická forma $ (Ax,x)$ bývá v konkrétních úlohách zadána např. ve tvaru, kde $ x = (x_1,
..., x_n) $, $ p_{ij} \geq 0 $

$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_{ii}x_i^2+\sum_{i,j=1}^n p_{ij}(x_i - x_j)^2 = E(x)\,,$

připomínáme, že předpokládáme symetrii ( $ p_{ij}=p_{ji}$) a pozitivní definitnost ($ E(x)>0$ pro $ x\not=0$). Veličinu $ E(x)$ lze interpretovat jako energii systému spřažených oscilátorů (kuliček na pružinkách): Přitom chápeme veličinu $ x_i \in$   {\bb R} (popř. $ x_i \in$   {\bb R}$ ^2$ ci $ x_i \in$   {\bb R}$ ^3$) jako výchylku $ i$-tého oscilátoru od své rovnovážné polohy $ x_i=0$, a jednotlivé oscilátory jsou pospojované gumičkami či pružinkami tuhosti $ p_{ij}$, které spojují sousední prvky $ (i,j)$ daného systému. Veličiny84 $ p_{ii}$ popisují sílu ukotvení jednotlivých oscilátorů vůči klidovému stavu $ x_i=0$. Lze si představovat konstrukci třeba drátěnky staré postele, ale tento model hraje důležitou roli i v kvantové teorii pole či ve statistické fyzice. Potom je ovšem počet oscilátorů $ n\approx 10^{27}$ (či ještě mnohem vetší) a vzoreček

$\displaystyle x = -{1 \over 2} A^{-1}b $

odvozený výše je v takovéto holé formě zcela bezcenný, nebot počítat inverzi tak veliké matice standardními metodami nevede k rozumnému výsledku v rozumném case.

Energii $ E(x)$ lze napsat ve tvaru

$\displaystyle E(x) = \sum_i d_{ii} (x_i)^2 -(Qx,x),$

kde matice $ Q = \{q_{ij}\}$ má jiz nuly na diagonále a jinak prvky

$\displaystyle q_{ij} = 2p_{ij}\,,\quad i \not= j\,; \ $    a k tomu je$\displaystyle \ \
d_{ii} = p_{ii}+\sum_{j=1\atop j\not = i}^{n}( p_{ij} + p_{ji})\,.
$

Všimněte si, že platí $ d_{ii} \geq \sum_{j\not=i} q_{ij}$ (,,tzv. diagonální dominance'') a rovnost (nejzajímavější případ!) nastane pro případ nulové hmoty tzn. pro prípad $ p_{ii} \equiv 0$.

V dalším označujeme množinu všech indexu symbolem $ \Lambda$, treba $ \Lambda =\{1, ...,n\}$. V konkrétních případech (at již v případě té drátěnky, či v prípade QFT) mívá vzdy $ \Lambda$ pravidelnou strukturu dvoj, troj či ctyrrozměrné mříže. Nejpohodlnější je si představovat, že $ \Lambda$ je konecnou cyklickou grupou (at již jednorozměrnou - pak položíme $ n\equiv 0$ - nebo vícerozměrnou). Potom bývají veličiny $ p_{ij}$, a tedy i $ q_{ij}$ obvykle invariatní vůči translacím té mříže, a lze pro pohodlnost předpokládat například i vztah $ d_{ii} \equiv 1$ tedy $ E(x) =(x,x) - (Qx,x)$.

Fixujme nyní nějakou ,,okrajovou podmínku'' $ \{x_i = \overline x_{i}, i
\in M^c \}$ na doplňku $ M^c \equiv \Lambda \backslash M$ nějaké podmnožiny $ M \subset \Lambda$ mríze $ \Lambda$ a ptejme se, v jaké poloze se ustálí klidové polohy ostatních oscilátorů. Příklad: Šlápneme doprostřed drátěnky upevněné na krajích. Jak se vychýlí polohy okolních uzlů té drátěnky?

Klidová poloha systému nyní odpovídá konfiguraci $ x \equiv x_{\Lambda} = \{x_i, i \in
\Lambda\} = x_M \cup x_{M^c}$, pro kterou je minimální veličina

$\displaystyle E(x_{\Lambda}) = E(x_M \cup x_{M^c}) = (x_{\Lambda},x_{\Lambda}) -
(Qx_{\Lambda}, x_{\Lambda})$

při fixované volbě veličin (,,výchylek'') $ \{ x_i = \overline x_i, i \in M^c\}$ vně námi zkoumaného objemu $ M$.

V aplikacích se ve vzorcích

$\displaystyle E(x_{\Lambda}) = \sum_{i\in \Lambda } d_{ii} (x_i)^2 -(Qx_{\Lambd...
...
= \sum_{i\in \Lambda}
p_{ii}x_i^2+\sum_{i,j \in \Lambda} p_{ij}(x_i - x_j)^2 $

vyskytují obvykle jen páry dostatečně blízkých sousedů $ (i,j)$; jinak tedy bývá $ p_{ij} \equiv 0 $ a $ q_{ij}\equiv 0$.

,,Aktivní'' páry oscilátorů (tedy takové, že platí $ p_{ij}
> 0$, a tedy i $ q_{ij} >0$) tvoří na indexové množině $ \Lambda =\{1, ...,n\}$ jistý neusporádaný graf $ G$ pravidelné struktury. Označujme dále žebra tohoto grafu symbolicky $ b =\{i,j\}$ a jejich ,,váhy'' jako

$\displaystyle q_b = q_{ij}.$

V dalším zápisu jiz pro pohodlnost předpokládejme, že platí vztah $ d_{ii} \equiv 1$. Tento předpoklad není nijak na újmu obecnosti v případech translačně invariantních systémů oscilátorů na toru.

Zkoumejme nyní minimum našeho kvadratického výrazu $ E(x_{\Lambda}) =
(x_{\Lambda},x_{\Lambda}) -
(Qx_{\Lambda},x_{\Lambda})$ za podmínky $ x_{M^c} = \overline x_{M^c}$. Jde tedy o minimum lineárně kvadratické formy typu $ (Ax,x) + (b,x)$ přesněji o minimum funkce

$\displaystyle \sum_{i\in M} (x_i)^2 - \sum_{i,j \in M: i \ne j} q_{ij}x_ix_j +
 2\sum_{j \in M^c\atop i \in M} q_{ij}x_i \overline x_j$ (368)

za podmínky fixace $ \overline x_{M^c}$. Člen $ \sum_{i,j \in M^c}
q_{ij} \overline x_i \overline x_j$ zde již nepíšeme, neboť je pro zadanou okrajovou podmínku $ \{ x_i = \overline x_i, i \in M^c\}$ stejně konstantní. Vztah $ 2Ax = -b$ nyní znamená následující: označíme li symbolem $ \overline x_M = \{\overline x_i,i \in M\}$ řešení úlohy (381) máme rovnosti (připomínáme, že pro jednoduchost značení uvažujeme již pouze případ $ d_{ii} \equiv 1$, proveďte podrobne príslušnou aritmetiku)

$\displaystyle \overline x_i = \sum_{j \not= i} q_{ij}\overline x_j
 \ \ \forall i \in M.$ (369)

Vidíme, že $ \overline x_i$ je jistým váženým průměrem ,,okolních veličin $ \overline x_j$'' (v grafu $ G$). V souladu s terminologií obvyklou v analýze bychom mohli říci, že funkce $ \overline x_M$ je harmonickou funkcí proměnné $ i \in M$. Nyní použijeme Feynman-Kacovy metody. Vztah (382) totiž můžeme iterovat, dosazovat znovu a znovu do sebe sama. Dosazování ukončíme vždy v momentě, kdy příslušné $ j$ ze vztahu

$\displaystyle \overline x_i = \sum_{j \not= i} q_{ij} \overline x_j $

dosáhne množiny $ M^c$, $ j \in M^c$.

Definice: Náhodnou procházkou ,,z bodu $ i \in M$ na okraj $ M$'' nazveme libovolnou posloupnost $ P$ indexu tvaru $ P = (i = i_0, i_1, ..., i_n = j)$ takovou, že $ i_k \in M$ $ \forall k = 0,1, ..., n-1$ a přitom platí $ i_n =
j \in
M^c \equiv \Lambda \backslash M$. Vahou procházky $ P$ rozumíme veličinu (součin přes všechna žebra $ b = (i_k,i_{k+1})$ procházky $ P$)

$\displaystyle q_P = \prod_{b \in P} q_b.$

Stačí se tedy omezit na procházky ,,skrz zebra grafu $ G$'', jiné procházky mají váhu nula. Nyní platí důležitá

Věta (Feynman-Kacova formule): Konfigurace $ \overline x_M$ minimalizujicí kvadratickou energii $ E(x_{\Lambda})$ za podmínky $ x_{M^c} \equiv \overline x_{M^c}$ splňuje $ \forall j \in M$ podmínku

$\displaystyle \overline x_j = \sum_P q_P \overline x_{k(P)},$

kde sumace je přes všechny procházky $ P$ startující v bodě $ j \in M$ a kde $ k(P)$ oznacuje "konec" procházky $ P = (j = i_0, ..., i_n =
k_P)$ tzn. moment dosazení $ M^c$; zatímco platí $ i_k \in M$ pro $ k<n$ tak je již $ i_n = k(P) \in M^c$.

Cvičení 1. Promyslete důkaz této věty, není to již obtížné.

Cvičení 2. Spočtěte hodnotu veličiny

$\displaystyle E(\overline x_M \cup \overline x_{M^c}) = \min_{X_M} E(x_M \cup
\overline x_{M^c})$

pro $ \overline x_M$ z předchozí věty, dosazením Feynman-Kacovy formule do vzorce pro energii $ E(\overline x_M \cup \overline x_{M^c})$! Řešení vyjde ve velmi elegantním tvaru, kvadratické cleny v nem budou indexovány všemi moznými procházkami (po grafu $ G$ s nenulovými zebry $ q_{i,j} \ne 0$) z mnoziny $ M^c$ pres $ M$ zpet do $ M^c$:

Věta: Platí vztah

$\displaystyle E(\overline x_M \cup \overline x_{M^c}) =
- \sum_C q_C \overline x_{z(C)}\overline x_{k(C)} +
\sum_{i \in M^c} (\overline x_i)^2,$

kde první sumace je přes všechny (orientované) procházky typu $ C = (i_0, i_1, ..., i_n)$ takové, že

$\displaystyle i_0 = z(C) \in M^c\,,\ \wedge\
i_n = k(C) \in M^c\,,\ \wedge\
i_k \in M;1 \leq k \leq n - 1\,.$

Indexy $ z(C)$ resp. $ k(C)$ označují počáteční resp. koncové body těchto procházek $ C$. Vahou procházky $ C$ míníme opět veličinu (součin přes všechna žebra $ b = (i_j,i_{j+1})$ kde $ j = 0, 1, ...,
m-1$)

$\displaystyle q_C = \prod_{b \in C} q_b$

a opet platí, ze s nenulovými příspěvky jsou pouze ty procházky, které jsou podgrafy grafu $ G$.

Aplikace uvedené Feynman-Kacovy formule při detailnějším studiu Coulombovských potenciálu, při řešení problému návratnosti náhodné procházky a při studiu rozptylu příslušných gaussovských měr viz v další úloze věnované tomuto tématu.