Anihilační a kreacní operátor na konečněrozměrném prostoru se skalárním soucinem

Zdurazneme, že skutečnou důležitost a eleganci mají tyto operátory pouze na nekonečněrozmerném prostoru, viz skripta [PLA], strana 243. Jsme ale v lineární algebře -- a tak níze zformulujme co možná nejvěrnější karikaturu těchto důležitých pojmů i v prostorech konečné dimenze. Výhodou jest, že toto zavedení bude zcela rigorózní (i kdyz se ztratí hodne z elegance původní konstrukce) zatímco fyzikální situace se bez rozvinutí alespoň částí teorie nekonečněrozmerných operátorů neobejde. Pokládáme zde pro jednoduchost zápisu všechny fyzikální konstanty (jako Planckovu) rovny jedné. (Ctenári samozrejme doporucujeme podrobne se seznámit i s nekonecnerozmernou versí, speciálne se všemi príslušnými dulezitými komutacními vztahy.)

Úkol: Necht je tedy $ V_n$ prostor funkcí typu

$\displaystyle f(x) = P(x)e^{-{x^2 \over 2}},$

kde $ P$ je polynom stupně nejvýše $ n$. Skalární součin na tomto prostoru bereme

$\displaystyle b(f,g) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline g(x)\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x.$

Spočtěte adjunkci k anihilačnímu operátoru

$\displaystyle A = \left(x + {\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \over \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x}\right) :\quad V_n \rightarrow V_n$


Řešení: Nejprve je dobré si uvědomit, že $ A$ zobrazuje $ V_n$ skutečně do $ V_n$, tedy že i pro polynom $ P$ stupně $ n$ obsahuje $ A(Pe^{-{X^2\over 2}})$ polynom stupně nejvýše $ n$ (totiž stupně $ n-1$).

Pro polynomy $ P$ stupně menšího než $ n$ bude zřejmě opravdu platit $ A^*(Pe^{-{X^2\over 2}})
= (x - {\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \over \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x})(Pe^{-{X^2\over 2}})$, viz níže. Je-li ovšem $ P$ stupně $ n$, je $ (x - {\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \over \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x})Pe^{-{X^2\over 2}} = Qe^{-{X^2\over 2}}$ kde $ Q$ je polynom stupně $ n+1$ (vyzkoušejte). Označme symbolem $ \pi_n$ ortogonální projekci z prostoru $ V_m$, $ m > n$ (treba $ m =
n+1$) do podprostoru $ V_n$. Potom pro $ P(x)e^{-{x^2 \over 2}} \in V_m$ a $ Q(x)e^{-{x^2 \over 2}} \in V_n$ platí

$\displaystyle b\big( \pi_n (P(x)e^{-{x^2 \over 2}}),Q(x)e^{-{x^2 \over 2}}\big)
= b\big(P(x)e^{-{x^2 \over 2}},Q(x)e^{-{x^2 \over 2}}\big),$

tedy označíme-li $ f(x) = P(x)e^{-{x^2 \over 2}}$, $ g(x) =
Q(x)e^{-{x^2 \over 2}}$, kde stupne $ P$ a $ Q$ jsou $ \leq n$, máme vztah (ověřte podrobněji, místo funkce $ P(x)e^{-{x^2\over 2}}$ bereme nyní funkci $ \pi_n (x -{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \over \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x})P(x)e^{-{x^2\over 2}}$)

$\displaystyle \ts b\big( \pi_n (x -{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \over \mathop{{...
...f, (x +{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \over \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x})g\big)$

pro všechna $ g \in V_n$ s pouzítím vzorce per partes. Jinými slovy platí:

$\displaystyle \left(x+{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \over \mathop{{\rm d}\!}\nol...
...left(x-{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \over \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x}\right)$

na každém takovémto prostoru $ V_n$.