Projekce ortogonální báze

Úkol: V euklidovské rovině {\bb R}$ ^2$ máme tři vektory $ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$. Jak poznáme, že to jsou ortogonální projekce nějaké ortonormální báze $ \vec{w}_1,\vec{w}_2 ,\vec{w}_3$ z euklidovského nadprostoru {\bb R}$ ^3 \supset$   {\bb R}$ ^2$?


Řešení: Jde o to, zda lze přidat k matici $ A$ (typu dvakrát tři) složené ze souřadnic vektorů $ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ ještě jeden, třetí řádek, aby vznikla ortogonální matice se vzájemně ortogonálními sloupci velikosti jedna. To je zřejmě možné právě tehdy, pokud jsou řádky matice $ A$ navzájem kolmé a mají velikost jedna. Pak je lze totiž doplnit (v tomto konkrétním případě jednoznačně) třetím řádkem velikosti jedna, ortogonálním k prvním dvěma. A jsme hotovi. (Proč?)

Úloha má zobecnění pro $ k$-rozměrné projekce z $ n$-rozměrného prostoru, zformulujte a dokažte jej.

$ \ast$RB$ \ast$