Zmatené výpočty s inverzní maticí

Úkol: V tělese {\bb Z}$ _{11}$, které obsahuje prvky $ 0,1,\dots,10$ a v němž všechno sčítání, odčítání i násobení probíhá modulo 11 (to znamená, že z každého výsledku vezmeme jen zbytek po dělení 11, neboli přičítáme násobky 11, dokud se nedostaneme do množiny $ \{0,1,\dots 10\}$), spočtěte inverzní matici k matici $ {L}$ níže (jako Ludolf, víte proč?), a to jak řádkovými úpravami $ ({L}\vert \mathbbm{1})$, tak metodou subdeterminantu (viz příklad 8.1)

$\displaystyle \nonumber{L}=\tb{ccc}3&1&4\\ 1&5&9\\ 2&6&5.$


Řešení: Nejdříve musíme přijít do rytmu. Tak například $ 5+8=2,$ $ -6=5,$ $ 4\cdot 7=6$ atd. Je užitečné si napsat tabulku inverzních prvků

$\displaystyle \nonumber\begin{array}{\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\v...
...2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline x^{-1}&-&1&6&4&3&9&2&8&7&5&10\\ \hline\end{array}$

V první metodě napíšeme vedle sebe $ {L}$ a $ \mathbbm{1}$ a řádkovými úpravami nejprve vynulujeme prostor pod diagonálou, a pak pokračujeme s řádkovými úpravami a nulujeme nad diagonálou. Ve výpočtu zapsaném níže jsme museli nejprve sedminásobek první řádky přičíst k druhé, abychom vynulovali jednotku vlevo (první řádek máme násobit $ -\frac{1}{3}$, ale to je $ (-1)/3 = 10\cdot 3^{-1}=10\cdot 4=7$). V posledním kroku jsme první i třetí řádku násobili čtyřmi (tedy $ 1/3$), abychom získali vlevo jednotkovou matici. Celý postup je:

   to \begin{displaymath}\ds \left(
\begin{array}{ccc}3&1&4\\ 1&5&9\\ 2&6&5
\end{arr...
...1&\circ&\circ\\ 7&1&\circ\\ 3&\circ&1\end{array}
\right)\hfill\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

   to \begin{displaymath}\ds
\stackrel{\longrightarrow}{\begin{array}{c}2\cdot(2)+(3...
...}(1)+6\cdot(3)\to (1)\cr (2)+6\cdot(3)\to (2)\end{array}}\hfill\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}3&1&\circ\\ \circ&1&\circ\\ \circ...
...in{array}{ccc}5&10&\circ\\ 10&2&6\\ 6&2&1\end{array}
\right)
\end{displaymath}

   to \begin{displaymath}\hfill\ds \stackrel{\longrightarrow}{\begin{array}{c}4\cdot (...
...begin{array}{ccc}9&7&\circ\\ 10&2&6\\ 2&8&4\end{array}
\right)\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

Inverzní matici lze odečíst na konci vpravo od svislé čáry.

Spočteme ji ještě pomocí subdeterminantu, připomínáme že% latex2html id marker 68609
\setcounter{footnote}{3}\fnsymbol{footnote} $ (L^{-1})_{ij}=
(-1)^{i+j}\vert L_{ji}\vert/\mathop{\rm det}\nolimits L$, kde $ \vert L_{ij}\vert$ je determinant matice $ L$, v níž jsme vynechali $ i$-tý řádek a $ j$-tý sloupec (bývá označován jako minor či po opatření znaménkem $ (-1)^{i+j}$ algebraický doplněk.

Determinant $ {L}$ je roven

$\displaystyle \nonumber \mathop{\rm det}\nolimits {L}=(9+2+7)-(7+5+8)=-2=9$

a inverzní matice je tedy (např. v pravém horním rohu inverzní matice vlevo máme $ \vert L_{31}\vert/\mathop{\rm det}\nolimits L=(1\cdot 9-5\cdot 4)/9=0$)

$\displaystyle \nonumber {L}^{-1}=9^{-1}
\tb{ccc}4&8&\circ \\ 2&7&10\\ 7&6&3.
=\tb{ccc} 9&7&\circ \\ 10&2&6\\ 2&8&4..$

Zkontrolujte $ {L}{L}^{-1}=\mathbbm{1}$.

$ \ast$LM$ \ast$