Translačně invariantní kvadratické formy a náhodné procházky na mříži

V tomto příspěvku se podíváme na podmíněná minima takovýchto kvadratických forem na nekonečné mříži (,,Coulombovy potenciály'') a prostudujeme jejich chování. Odvodíme vyjádření hodnot příslušných energetických minim jako vhodných sum přes náhodné ,,smyčky'' na dané mříži a ukážeme zajímavé souvislosti jednak s chováním (vratnost či nevratnost) odpovídajících náhodných procházek na zvolené mříži, jednak s chováním gaussovské Gibbsovské míry příslušející zvolené kvadratické formě.

Klíčovým slovem níže diskutované problematiky je kvadratická forma (Hamiltonián) typu

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}_\varepsilon(x_\Lambda)=\sum_{\{i,j\}\in\Lambda:\vert i-j\vert=1}
 (x_i-x_j)^2 + \varepsilon\sum_{i\in\Lambda}x_i^2$ (370)

na konfiguračním prostoru {\bb R}$ ^\Lambda$, kde $ \Lambda$ je konečný diskrétní torus (dimenze $ d$) tvaru

$\displaystyle \Lambda=\{0,1,\dots,n-1\}^d,
$

tedy součin cyklických grup $ \{0,1,\dots,n\equiv 0\}$.

Formálně vzato, chtěli bychom Hamiltonián 383 a výše nadhozenou problematiku (náhodné procházky, Gaussovské míry) studovat na  {\bb Z}$ ^d$. Z technických důvodů je výhodné pracovat na konečné grupě $ \Lambda$ a teprve na závěr udělat limitní přechod (termodynamickou limitu) $ \Lambda\nearrow${\bb Z}$ ^d$, čímž míníme limitu pro  $ n\to\infty$.

Co se hodnoty $ \varepsilon $ týče, nejzajímavější interpretace budou právě pro  $ \varepsilon=0$. I zde bude ale z technických důvodů (požadavek regularity kvadratické formy 383 apod.) vhodné pracovat většinou s hodnotou $ \varepsilon >0$ a teprve potom (obvykle až po provedení termodynamické limity $ \Lambda\nearrow${\bb Z}$ ^d$) zkoumat limitu pro  $ \varepsilon\to0+$.

Poznamenejme, že místo 383 lze obecněji (a vcelku analogicky) zkoumat kvadratickou formu typu ($ b_i$ jsou translačně invariantní koeficienty)

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}_\varepsilon(x_\Lambda)=\sum_{\{i,j\}\in\Lambda}b_{i-j}(x_i-x_j)^2+
 \varepsilon\sum_{i}x_i^2$ (371)

s vhodnými koeficienty (třeba nezápornými) tak, aby tato forma byla pro  $ \varepsilon >0$ positivně definitní. Úplně nejobecněji můžeme zkoumat pozitivně definitní formu typu

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(x_\Lambda)=\sum_{i,j\in\Lambda}a_{i-j}x_ix_j = (a_\Lambda\ast
 x_\Lambda,x_\Lambda)=(Ax_\Lambda,x_\Lambda),$ (372)

kde $ (x_\Lambda,y_\Lambda)$ označuje běžný skalární součin na  {\bb R}$ ^\Lambda$ a matice $ A$ má prvky $ a_{ij}\equiv a_{i-j}$. Konvolucí $ y_\Lambda=a_\Lambda\ast
x_\Lambda$ rozumíme konfiguraci $ y_i=\sum_{j\in\Lambda}a_{i-j}x_j$. Uvažované konvoluční jádro $ a_\Lambda=\{a_i:i\in\Lambda\}$ bude obvykle symetrické ( $ a_i=a_{-i}$) a omezeného dosahu ($ a_i=0$ pro libovolné $ \vert i\vert>R$). V takovém případě budeme $ R$ nazývat dosahem interakcí v Hamiltoniánu 385.

Píšeme-li Hamiltonián 384 ve tvaru 385, máme

$\displaystyle a_i=-2b_i\ (\hbox{pro }i\not=0), \qquad
a_0=\varepsilon+2\sum_{i\in\Lambda}b_i,
$

neboli $ A=a_0(J-W)$, $ w_{ij}\equiv w_{i-j}$, kde $ w_i={2b_i\over a_0}$, čili můžeme vztah 385 (a tedy i 383, 384) psát ve tvaru

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}_\varepsilon(x_\Lambda)=a_0\big((J-W)x_\Lambda,x_\Lambda\big),
$

kde $ W$ je matice s prvky $ w_{ij}\equiv w_{i-j}$ taková, že platí $ w_0\equiv0$ a

$\displaystyle \sum_{i\not=0}\vert w_{i}\vert\leq1, \hbox{ resp } < 1
$

podle toho, zda $ \varepsilon=0$, nebo $ \varepsilon >0$.

V případě potřeby budeme níže zavádět označení $ W\equiv W^{\varepsilon}$ zdůrazňující nenulovou hodnotu $ \varepsilon >0$. Speciálně pro Hamiltonián 383 máme

$\displaystyle w_{ij}^\varepsilon=\left\{\begin{array}{ccccccccccccc} {2\over 4d...
...\vert i-j\vert=1 \cr \vphantom{0^{0^0}}0, & \hbox{jinak}\cr\end{array}\right.
$

a

$\displaystyle \sum_{j}w_{ij}^\varepsilon={4d\over 4d+\varepsilon}<1.
$

Plán dalšího postupu je následující. Nejprve se krátce zmíníme o gaussovských mírách na {\bb R}$ ^\Lambda$ odpovídajících kvadratickému Hamiltoniánu 383-385. Vyjasníme roli náhodných procházek při vyjadřování hodnot inverzní matice $ (J-W)^{-1}$ a interpretujeme rozptyl příslušných Gaussovských veličin v termínech pravděpodobnosti návratu náhodné procházky do počátku. Na závěr zanalyzujeme chování ,,Coulombových potenciálů'' formy $ \big((J-W)x_\Lambda,x_\Lambda\big)$, tedy chování podmíněných minim této funkce při fixované okrajové podmínce (zadané třeba jen v jednom bodě), ukáže se totiž (s použitím Feynman-Kacovy formule), že energie Coulombova potenciálu je vyjádřena veličinou úzce související právě se zmiňovanou pravděpodobností návratu náhodné procházky (po mříži, na níž příslušný potenciál studujeme).

Studujme tedy nejprve Gaussovské míry odpovídající Hamiltoniánu $ \hbox{\bf {H}}_\varepsilon(x_\Lambda)$. Uvažujme

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}_\varepsilon(x_\Lambda)=a_0\big((J-W)x_\Lambda,x_\Lambda\big),
$

kde $ W=\{w_{ij}\equiv w_{i-j}\}$, pro které platí $ \sum_i \vert w_i\vert < 1$. Tomuto Hamiltoniánu odpovídá následující gaussovská míra, která je daná hustotou pravděpodobnosti

$\displaystyle {\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \mu(x_\Lambda) \over \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x_\Lambda} = {e^{-H_\varepsilon
(x_\Lambda)}\over Z(\Lambda)},
$

kde

$\displaystyle Z(\Lambda)=\int_{\mbox{{\bb R}}_\Lambda} e^{-H_\varepsilon(x_\Lam...
...mbda}
e^{-((J-W)x_\Lambda,x_\Lambda)} \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x_\Lambda.
$

V dalších výpočtech budeme pro jednoduchost počítat s  $ a_0 \equiv 1$. Případné zakomponování obecného $ a_0$ do formulí, které budou následovat, je celkem triviální. Víme, že $ Z(\Lambda)$ je potom vyjádřeno vzorcem

$\displaystyle Z(\Lambda)=\sqrt{\pi^{\vert\Lambda\vert} \over \mathop{\rm det}\nolimits (J-W)}.
$

Jde tedy o výpočet determinantu $ \mathop{\rm det}\nolimits (J-W)$, jemuž jsme výše věnovali samostatný příklad 11.9. Výsledkem je

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits (J-W) = \exp \left(\sum_C \ln (1-w_C)\right),
$

kde se sčítá přes všechny ,,nerozložitelné smyčky'' v $ \Lambda$ a $ w_C=\prod_{(i, j)} w_{ij}$, kde součin je přes všechna žebra $ (i,j)$ smyčky $ C$.

Podívejme se nyní na rozptyl veličin daných gaussovskou pravděpodobností zadanou výše, tedy v prvé řadě na veličinu ($ x_0$ zde označuje hodnotu $ x_\Lambda$ v bodě $ i=0$)

$\displaystyle V_\varepsilon ^\Lambda = \int_{\mbox{{\bb R}}^\Lambda} x_0^2
\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \mu(x_\Lambda).
$

Píšeme $ V\equiv V_\varepsilon^\Lambda$, abychom zdůraznili roli parametru $ \varepsilon >0$ v Hamiltoniánu $ \left(\left(J-W\right)x_\Lambda,x_\Lambda\right)$, popřípadě i roli mříže $ \Lambda$. Důležitá (pro následné interpretace ve statistické fyzice) je dvojná limita

$\displaystyle V = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \left(\lim_{\Lambda \rightarrow
\mbox{{\bb Z}}^d} V_\varepsilon^\Lambda\right).
$

Tu můžeme interpretovat jako ,,rozptyl (varianci) veličiny $ x_0$'' v případě, že ,,konfiguraci $ x_\Lambda$ držíme, pro $ \Lambda \rightarrow$   {\bb Z}$ ^d$, v nekonečnu na hodnotách $ x_i=0$, $ i\rightarrow \infty$''. Zatímco role konečné mříže $ \Lambda$ v těchto úvahách bude vcelku triviální (pouhá potřeba konečnosti sum v  $ \hbox{\bf {H}}(x_\Lambda)$), chování veličiny $ V_\varepsilon$ v okolí $ \varepsilon=0$ bude zajímavé, a uvidíme zásadní rozdíl mezi dvoj a vícerozměrnou situací.


Věta 1: Platí $ V= \infty$ respektive $ V<\infty$ podle toho, zda $ d=2$ nebo $ d\geq 3$. (Pro pozitivně semidefinitní formu 383 nebo obecněji 385.)


Důkaz: a) Víme, že $ V_\varepsilon^\Lambda=C_{00}$, kde $ C=(J-W_\varepsilon)^{-1}$. Píšeme podrobněji $ W_\varepsilon$ namísto $ W$, abychom zdůraznili roli $ \varepsilon $ (viz příklad o gaussovském integrování výše, konkrétně vyjádření variance gaussovské míry $ c_{ij}=\int
x_ix_j\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \mu(x)$, kde $ \mu$ odpovídá matici $ A$ pomocí inverzní matice $ C=A^{-1}$). Tedy $ C=\sum_{n=0}^\infty
(W_\varepsilon)^n$ a

$\displaystyle V_\varepsilon^\Lambda=1+\sum_{k=2}^\infty
\sum_{{P;\atop \vert P\vert=k}} w_p^\varepsilon\ ,
$

kde $ w_p^\varepsilon = \prod_{(i, j)\in P} w_{i,j}^\varepsilon$ a sčítáme všechny $ P$ - procházky po mříži $ \Lambda$, jejichž počáteční a koncový bod je $ 0\in\Lambda$. Ve vzorci pro váhu procházky $ w_p^\varepsilon$ násobíme maticové elementy $ w_{i,j}^\varepsilon$ přes všechna žebra $ (i,j)$ procházky $ P$. Délkou $ \vert P\vert$ procházky $ P$ nazýváme počet jejích žeber.

b) Nazvěme smyčkou takovou uzavřenou procházku, která se do svého počátečního bodu vrátí až v posledním kroku. Položme

$\displaystyle P_\varepsilon^\Lambda = \sum_{S} w_S^\varepsilon,
$

kde sumace je přes všechny smyčky začínající a končící v 0. Potom platí vzorec

$\displaystyle V^\Lambda_\varepsilon=1+\sum_P w_P^\varepsilon=1+\sum_{m=1}^\infty
(P_\varepsilon^\Lambda)^m,
$

neboť každou procházku $ P$ s počátkem a koncem v 0 lze rozložit na uspořádanou $ m$-tici smyček.

c) Takže konečnost respektive nekonečnost veličiny $ V_\varepsilon^\Lambda$ v limitě

$\displaystyle V = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \lim_{\Lambda \rightarrow \mbox{{\bb Z}}^d}
V_\varepsilon^\Lambda
$

skutečně závisí na tom, zda veličina

$\displaystyle p=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \lim\limits_{\Lambda
\rightarrow \mbox{{\bb Z}}^d} p_\varepsilon^\Lambda
$

je rovna jedné či nikoliv. Pokud je $ p<1$ máme totiž vztah

$\displaystyle V=1+\sum_{m=1}^\infty p^m = {1\over 1-p}.
$

Naopak, je-li $ p=1$ je zřejmě $ V= \infty$.

d) Důkaz věty dokončíme později, až dokážeme, že (pro $ \varepsilon=0$) $ p=1 \Leftrightarrow d=2$.


Poznámka (o interpretaci věty): Setkali jsme se právě s popisem vratnosti či nevratnosti náhodné procházky definované na {\bb Z}$ ^d$ tak, že pravděpodobnost přechodu z bodu $ i$ do ,,sousedního'' bodu $ j$ je dána jakousi nezápornou veličinou $ w_{ij}=w_{i-j}$ takovou, že

$\displaystyle \sum_{i\in \mbox{{\bb Z}}^d} w_i = 1-\varepsilon.
$

kde $ \varepsilon $ je pravděpodobnost ,,zániku poutníka''. Ptáme se (samozřejmě hlavně pro $ \varepsilon \rightarrow 0$) na pravděpodobnost té události, že poutník se někdy vrátí do počátečního bodu své cesty (Tedy ani cestou nezanikne - to je zajištěno podmínkou $ \varepsilon=0$, ani se časem nevzdálí někam do nekonečných končin). Lepší otázkou (s výraznou odpovědí) ale je: ,,Jaká je pravděpodobnost $ Q$ toho, že se poutník vrátí do svého počátečního bodu nekonečněkrát?'' Odpověď na takovouto otázku jest (pro $ \varepsilon=0$): ,,$ Q=0$ pro $ D\geq 3$, $ Q=1$ pro $ d=2$''.

Takže zbývá vyjasnit chování veličiny

$\displaystyle p_\varepsilon^\Lambda=\sum_{S} w_S^\varepsilon,\qquad
w_S^\varepsilon=\prod_{(i,j)\in S} w_{ij}
$

sčítáme-li přes všechny smyčky v $ \Lambda$ s počátečním a koncovým bodem 0. Zde bude účelné vrátit se k případu konečného toru $ \Lambda$ a $ \varepsilon >0$; teprve po nalezení příslušných formulí provedeme limitní přechod

$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0}\lim\limits_{\Lambda \to \mbox{{\bb Z}}^d}
p_\varepsilon^\Lambda.
$

Odpověď na otázku ,,Jak získat užitečné vyjádření veličin $ p_\varepsilon^\Lambda$?'' dává studium Coulombových (Newtonových) potenciálů příslušných dané kvadratické formě. Definujeme je takto:


Definice: Nechť $ M \subset \Lambda$, píšeme v dalším $ M^c$ místo $ \Lambda\setminus M$. Fixujme nějakou konfiguraci $ \bar x_{M^c}\in$   {\bb R}$ ^{M^c}$. Označme symbolem $ \bar
x_{M^c}$ konfiguraci na $ M$ minimalizující kvadratickou formu ($ W$ je matice diskutovaná v předchozím textu, $ w_{ij}\equiv w_{i-j}$, $ \sum_i \vert w_i\vert < 1$, $ \hbox{\bf {H}}(x_\Lambda)=((I-W)x_\Lambda,x_\Lambda)$ za podmínky $ x_{M^c}=\bar
x_{M^c}$.)


V jiném příkladě této sbírky dokazujeme následující větu, tzv. Feymann-Kacovu formuli:


Věta 2: Pro minimalizující konfiguraci $ \bar
x_{M^c}$ a pro libovolný bod $ i \in M$ platí vztah

$\displaystyle \bar x_i=\sum_{P} w_P \bar x_{k(P)},$ (373)

kde součet se bere přes všechny procházky $ P$ začínající v bodě $ i$ a končící v $ M^c$. (Konec procházky je definován jako okamžik, kdy se procházka poprvé octne v množině $ M^c\equiv \Lambda\setminus M$.) Váha procházky je opět dána formulí

$\displaystyle w_P=\prod_{(i,j)\in P} w_{ij}
$

kde součin je přes všechna žebra $ P$.


Viz předchozí příklad (o minimech kvadratických forem), kde podrobněji diskutujeme i formuli 387. Základem je elementární pozorování, že funkce $ H({\bar x}_{M^c}\cup x_M)$ má podle předpokladu minimum v bodě $ x_M=\bar x_M$. Tedy parciální derivace $ H$ podle $ x_i$, $ i \in M$ jsou rovny nule, což dává vyjádření (zopakujte si jej)

$\displaystyle \bar x_i=\sum_{j} w_{ij} \bar x_j,$ (374)

kde sumujeme přes všechna ,,sousední'' $ j$ (taková, že $ w_{ij}\neq 0$) a $ \bar x_j$ je buď hodnota minimalizující konfigurace $ \bar x_M$ v bodě $ j \in M$ nebo, v případě $ j \in M^c$, hodnota příslušné okrajové podmínky. Nyní stačí iterovat použitou formuli 387 (dosazovat ji samu do sebe znova a znova, dokud neplatí $ j \in M^c$) a dostaneme kýžený vztah 386.

Dosaďme nyní formuli 386 do vzorce pro minimalizující Hamiltonián

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(\bar x_{\Lambda})=((J-W)x_{\Lambda},x_{\Lambda})=\...
...
\Lambda} \bar x_{i}^2 - \sum_{i,j\in \Lambda} w_{ij}\bar x_{i}
\bar x_{j}.
$

Dostaneme potom následující elegantní výsledek.


Věta 3: Nechť konfigurace $ \bar x_M$ minimalizuje Hamiltonián $ \hbox{\bf {H}}(x_{M}\cup x_{M^c})$ při fixované podmínce $ \bar
x_{M^c}$. Potom platí vzorec, pro $ \bar
x_{\Lambda} = \bar x_{M^c} \cup \bar x_M$

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(\bar x_{\Lambda})=\sum_{i\in M^c} \bar x_{i}^2 -
 \sum_{P} w_{P} \bar x_{z(P)}\bar x_{k(P)},$ (375)

kde sčítáme přes všechny procházky ( $ i_0=z(P),i_1,\ldots,i_n=k(P)$) takové, že začátek $ z(P)$ i konec $ k(P)$ leží v $ M^c$, ale $ x_i\in M$ pro $ i=1,\ldots, n-1$. Váha procházky $ P$ je dána, jako obvykle, součinem přes všechna žebra $ (i_k,i_{k+1}), k=0,1,\ldots,n-1$

$\displaystyle w_P=\prod_{k=1}^{n-1} w_{i_k,i_{k+1}}
$

(Všimněte si, že pro $ M=\emptyset$ dostáváme obvyklý tvar $ \hbox{\bf {H}}(\bar
x_{\Lambda})$.)

\epsfbox{pridavky/prochazka.1}


Důkaz: Je vcelku jasné, že dosazením formule 386 do a) první i b) druhé sumy ve vzorci 388 vznikají výrazy typu $ w_P \bar x_{z(P)}\bar
x_{k(P)}$. Rozdíl je v tom, jak ty procházky vznikají: v případě a) jako ,,slepence'' dvou procházek $ P_1$, $ P_2$ z jistého bodu $ i \in M$ ven z $ M^c$, v případě b) jako slepence dvou procházek (jedné začínající v $ i$ a druhé v $ j$ a jdoucí ven z $ M$) a jedné příčky $ (i,j)$ dodávající k vahám $ w_{P_1}$ a $ w_{P_2}$ ještě jeden multiplikativní faktor $ w_{(i,j)}$. Rozdíl je ve znaménkách, slepence $ P_1 \& P_2$ vznikají se znaménkem $ 1$, slepence $ P_1
\cup \{i,j\} \cup P_2$ se znaménkem $ -2$ (resp. $ -1$, uspořádáme-li dvojici $ \{i,j\}$).


Poznámka (k terminologii a k přechodu do kontinua {\bb Z}$ ^d \to$   {\bb R}$ ^d$): Konfiguraci $ \bar
x_{\Lambda}$ minimalizující $ \hbox{\bf {H}}(x_{\Lambda})$ za podmínky $ x_{M^c} \equiv \bar
x_{M^c}$ nazýváme Coulombovým resp. Newtonovým potenciálem (odpovídajícím hraniční podmínce $ \bar
x_{M^c}$). Představme si totiž $ \Lambda =$   {\bb Z}$ ^d$, $ M^c=\{0\} \cup \Lambda_{\infty}$, kde $ \Lambda_{\infty}$ je ,,okolí nekonečna''. Položme $ \bar x_0 = 1$ a $ \bar x_i=0$ pro všechna $ i \in
\Lambda_{\infty}$. Dá se potom ukázat (není to ale triviální) že pro $ 1 \ll
\vert i\vert \ll D= \mathop{\rm dist}(0, \Lambda_{\infty})$ platí (uvažujme pro konkrétnost pouze dimenzi $ d\geq 3$)

$\displaystyle \bar x_i= C V(i) (1+ \eta_i),
$

kde $ \eta_i \to 0$ pro $ D \to \infty$ a $ \vert i\vert \to \infty$ (nebudeme zde přesně specifikovat v jakém smyslu), $ C$ je konstanta a $ V$ je obvyklý Coulombův potenciál z  {\bb R}$ ^d$, tzn. funkce minimalizující integrál

$\displaystyle \int_{\mbox{{\bb R}}^d\setminus K} \vert\mathop{\rm grad}\nolimits V\vert^2 \mathop{{\rm d}\!}\nolimits y
$

za podmínky $ V(y)\equiv 1$ na hranici $ \partial K$ jednotkové koule $ K=\{y: \vert y\vert \leq 1\}$. Zdůrazněme, že zde je již řeč o euklidovské normě na {\bb R}$ ^d$, tedy $ V(y)$ (a přibližně i $ V(i)$) je centrálně symetrická funkce, jejíž hodnoty závisí pouze na (euklidovské) vzdálenosti od počátku. $ V(y) = 1/\vert y\vert$ pro $ d=3$.

Nyní uděláme ještě několik důležitých, byť elementárních a hrubých, odhadů veličiny $ \hbox{\bf {H}}(x_{\Lambda})$ pro dimenze $ d=2$ a $ d=3$. Nebudeme se pokoušet optimalizovat tyto odhady, ani ukazovat jejich vztah k odhadům pro energie harmonických funkcí v kontinuu (tedy v {\bb R}$ ^d$ místo {\bb Z}$ ^d$). Tyto odhady umožní rozřešit problém o (ne)návratnosti procházek a tedy konečně uzavřít důkaz věty 1. Bude pohodlnější přejít z konečného toru $ \Lambda$ na celou mříž {\bb Z}$ ^d$.

Volme hraniční podmínku $ \bar x_0 = 1$, $ \bar x_i=0$ pro $ \vert i\vert\geq N$, $ i\in${\bb Z}$ ^d$. Situaci lze samozřejmě namodelovat i na dostatečně velikém toru $ \Lambda$. Nechť

$\displaystyle \bar x^{(N)}= \left\{\bar x_i^{(N)}; \vert i\vert<N \right\}
$

označuje konfiguraci minimalizující $ \hbox{\bf {H}}(x_{\Lambda})$ za této podmínky. Položme $ \bar x_i=\lim_{N \to \infty} \bar x_i^{(N)}$. Předpokládejme, že pro každé $ N$ je torus $ \Lambda$ zvolen tak veliký, že množinu $ M_N=\{i,
\vert i\vert<N \}$ i její hranici $ M_N^c = \{i, \mathop{\rm dist}(i,M)\leq R \}$, kde $ R$ je ,,dosah interakce'' v Hamiltoniánu $ \hbox{\bf {H}}(x_{\Lambda})$ (tedy $ a_{ij}\equiv
0$ pro $ \vert i-j\vert\geq R$), lze do $ \Lambda$ izometricky vnořit. Potom zřejmě veličina $ \hbox{\bf {H}}\big(\bar x_{\Lambda}^{(N)}\big)$ nezávisí na volbě takovéhoto toru, označme ji prostě $ \hbox{\bf {H}}\big(\bar x^{(N)}\big)$. Máme potom zřejmě

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(\bar x) = \lim_{N \to \infty} \hbox{\bf {H}}\big(\bar x^{(N)}\big),
$

kde levá strana je podle vztahu 388 s uvážením výše zmíněné okrajové podmínky dána nekonečnou sumou přes všechny procházky z počátku 0 dorazivší nakonec zpet do počátku (jejíž konvergence snadno plyne z předchozích úvah)

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(\bar x)=1- \sum_{p} w_p^\varepsilon.
$

Máme zde samozřejmě na mysli hlavně případ $ \epsilon=0$, pro opatrnost (hlavně v dimenzi $ d=2$) si představujme, že $ \epsilon > 0$ a limitní přechod $ \epsilon \to 0$ uděláme až v úplném závěru. Z následující věty již plyne dokončení důkazu věty 1, neboť $ \hbox{\bf {H}}(\bar x)=1-p$.


Věta 4: Pro $ d=2$ je $ \hbox{\bf {H}}(\bar x)=0$, zatímco pro $ d\geq 3$ platí $ \hbox{\bf {H}}(\bar x)> 0$.


Důkaz: a) Případ $ d=2$. Sestrojme pro každou posloupnost $ \{ a_n \}$ takovou, že $ a_n
\geq 0$ a $ \sum_{n=1} a_n=1$ konfiguraci danou předpisem

$\displaystyle \tilde x_i = 1-\sum_{j=1}^{n} a_j \qquad \hbox{pokud $\vert i\vert=n$}.
$

Jsme stále na mříži, výrazem $ \vert i\vert= \sum_{k=1}^{d} \vert i_k\vert$ rozumíme vzdálenost ,,typu $ l^1$'', množina $ {i: \vert i\vert = n}$ je kosočtvercem o délce přepony $ 2n$. Předpokládáme-li interakci pouze nejbližších sousedů, je jasné podle vztahu 383, že energie takovéto konfigurace je rovna sumě (přispívají pouze páry nejbližších sousedů z různých ,,vrstevnic'')

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(\tilde x) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 c(n),
$

kde $ c(n)$ je počet nejbližších sousedů mezi body z kosočtverců $ K(n) = \{ i, \vert i\vert=n\}$ a $ K(n-1)$. Nebudeme zde přesně odhadovat číslo $ c(n)$, je jasné, že platí $ \lim_{n\to \infty} c(n)/n= 4$. Takže

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(\tilde x)= \sum a_n^2 c(n) = \sum (a_n n)^2 {c(n)\over n^2}.
$

Volme nyní $ a_n = K_N/n$, $ n=1, \dots, N$ a jinak $ a_n=0$ pro $ n>N$. Nechť $ K_N= (\sum_{n=1}^N{1\over n})^{-1}$ tzn. $ K_N \approx (\log N)^{-1}$. Počítejme, s touto volbou $ a_n$, hodnotu $ \hbox{\bf {H}}(\tilde
x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 c(n)= K_N^2 \sum c(n)/n^2 \approx K_N = (\log
N)^{-1}$. Tedy vidíme, že $ \hbox{\bf {H}}(\bar x)= \inf \hbox{\bf {H}}(x)=0$.

b) Případ $ d\ge 3$. Tento odhad je komplikovanější a fakt, že pracujeme v  {\bb Z}$ ^d$ (místo {\bb R}$ ^d$) situaci neulehčuje, ba právě naopak. Rozšíříme konfiguraci $ x\in$   {\bb Z}$ ^d$ lineárně (po částech, v každé buňce $ \prod_{i=1}^d (n_i, n_i+1)$) na funkci v celém {\bb R}$ ^d$. Označme tuto funkci symbolem $ V(y)$. Platí, pro jistou minimální konstantu $ c>0$, vztah

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(x)>cG(V),\qquad\hbox{kde}\qquad G(V)\equiv
\int_{...
...s K(0)}\vert\mathop{\rm grad}\nolimits V\vert^2 \mathop{{\rm d}\!}\nolimits y
$

(tuto nerovnost stačí dokázat v každé jednotlivé buňce, ověřte). Při odhadu $ G(V)$ lze použít symetrie funkce minimalizující $ G(V)$ (takové symetrie na   {\bb Z}$ ^d$ nemáme!) Vskutku, je-li $ T$ ortogonální transformace na {\bb R}$ ^d$, tak je jistě $ G(V)=G(V\circ T)$ a trochu (funkcionální) analýzy ukazuje, že minimum funkce $ G$, při okrajové podmínce na $ V$ řekněme $ V=1$ na hranici koule $ \{ y: \vert y\vert=1 \}$ a $ V=0$ v nekonečnu, je nutno hledat mezi ,,centrálně symetrickými'' funkcemi $ V$, jejichž hodnoty závisí pouze na vzdálenosti od počátku. To je známý Coulombův potenciál, pro $ d=3$ roven $ V(y) = 1/\vert y\vert$ a máme též odhad

$\displaystyle \hbox{\bf {H}}(x)> c \int_{\mbox{{\bb R}}^d\setminus K(0)} \left\...
...}\nolimits {1\over\vert y\vert}
\right\vert^2 \mathop{{\rm d}\!}\nolimits y.
$