Lorentzovy transformace

Definice. (Minkowskiho kvadratické formy) Na prostoru $ {\mathbb{R}}^4$ zaveďme Minkowskiho pseudoskalární součin $ (\cdot,\cdot)_M:{\mathbb{R}}^4\times {\mathbb{R}}^4
\to {\mathbb{R}}$, definovaný $ (v,w)_M:=v_0w_0-v_1w_1-v_2w_2-v_3w_3$, kde $ v_i$ resp. $ w_i$ jsou složky $ v$ resp. $ w$ vůči kanonické bázi $ {\mathbb{R}}^{4}$. Kvadratická forma $ ({\mathbb{R}}^4;(,)_M)=:{\mathbb{R}}^{1,3}$ se nazývá (reálný) Minkowskiho prostor.

Definice. (Lorentzovy grupy) $ O(1,3):=\{A\in M(4,{\mathbb{R}});\,\allowbreak
(Ax,Ax)_M=(x,x)_M\}$, $ SO(1,3):=SL(4,{\mathbb{R}})\cap O(1,3)$. Grupa $ O(1,3)$ se nazývá Lorentzova grupa, $ SO(1,3)$ se nazývá Lorentzova grupa orientaci zachovávajících prvků.

Úkol. Dokažte, že výše definované množiny jsou grupy.

Řešení. Stačí ověřit uzavřenost na násobení a na inverzi.

Úkol. Dokažte, že prostor všech hermitovských matic typu $ 2\times 2$ je vektorový prostor nad tělesem $ {\mathbb{R}}$ dimenze $ 4$. Nalezněte jeho bázi. Tento prostor budeme značit $ H(2)$.

Řešení. Každá hermitovská matice

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2791 A=\left(
 \begin{array}{cc}
 a_{11} & a_{12}\\ 
 a_{21} & a_{22}
 \end{array}
 \right)=
 \overline{A}^t =: A^{\dagger}$ (376)

má na diagonále reálná čísla. Prvky $ a_{12}$$ a_{21}$ jsou navzájem komplexně sdružené, tj. pokud $ a_{12}=x_1-ix_2$, potom $ a_{21}=x_1+ix_2$. Pro další výpočty bude vhodné napsat diagonální členy ve tvaru $ a_{11}=x_0+x_3$, $ a_{22}=x_0-x_3$, což lze právě jedním způsobem pro libovolná dvě reálná čísla $ a_{11}, a_{22}$. Každou hermitovskou matici lze tedy psát ve tvaru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2793 A=\left(
 \begin{array}{cc}
 x_0+x_3 & x_1 - ix_2\\ 
 x_1+ix_2 & x_0 - x_3
 \end{array}
 \right),$ (377)

kde $ x_{\alpha} \in {\mathbb{R}}, \alpha = 0,1,2,3$. Naopak platí, že každá matice tohoto tvaru je hermitovská. Zvolme bázi $ \{\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}$ prostoru všech hermitovských matic ve tvaru:

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2795 \begin{array}{lll}
 \sigma_0 = \left(...
...a_3=\left(\begin{array}{cc}
 1 & 0\\ 
 0 & -1
 \end{array}\right),
 \end{array}$ (378)

tyto matice se nazývají Pauliho matice. Lze snadno ověřit, že prvky $ \sigma_{\alpha}$ jsou lineárně nézávislé nad $ {\mathbb{R}}$.

Dále je zřejmé, že pro libovolná reálná $ x^{\alpha}$ platí, že $ x^{\alpha}\sigma_{\alpha}$ je hermitovská matice. Libovolnou hermitovskou matici je možné psát ve tvaru matice $ A$ výše. Přímým výpočtem se lze přesvědčit o tom, že $ A=x^{\alpha}\sigma_{\alpha}$, tj. že $ \sigma_{\alpha}$ generují prostor $ H(2)$.

Tím jsme ověřili, že $ \{\sigma_{\alpha}\}$ tvoří bázi reálného vektorového prostoru $ H(2)$, a tak i dokázali, že $ \dim_{{\mathbb{R}}}H(2)=4$.

Úmluva. Definujme reálný izomorfizmus vektorového prostoru $ H(2)$ na prostor $ {\mathbb{R}}^{4}$ a označme $ j:H(2) \to {\mathbb{R}}^4$, $ j^{-1}(x)=x^{\alpha}\sigma_{\alpha}$, kde $ x=(x_0,...,x_3)^t$.

Úkol. Dokažte, že $ (x,x)_M=\mathop{\rm det}\nolimits (j^{-1}(x))$, $ x\in {\mathbb{R}}^{4}$.

Řešení. O výše uvedeném vztahu se lze přesvědčit přímým výpočtem.

Úkol. Dokažte, že $ J: M(2,{\mathbb{C}}) \to M(4,{\mathbb{C}})$, definovaný $ J(A)x := j(A j^{-1}(x) A^{\dagger})$, $ A \in H(2)$, $ x\in {\mathbb{R}}^4$, je homomorfizmus semigrup. Komentář: $ J(A)$ je matice $ 4\times 4$, a proto ji lze vyčíslit na vektoru $ x\in {\mathbb{R}}^4$, $ j^{-1}(x)$ je matice $ 2\times 2$.

Řešení. Nejprve ověřme, že výše definované zobrazení má smysl, tj. že matice $ Aj^{-1}(x)A^{\dagger}$ je hermitovská, a proto na ni lze aplikovat izomorfizmus

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2797 j:H(2) \to {\mathbb{R}}^4:(Aj(x) A^{\dagger})^{\dagger} = A
 j^{-1}(x)^{\dagger} A^{\dagger} = Aj^{-1}(x) A^{\dagger},$ (379)

neboť hermitovské sdružení je antiinvoluce (obrací pořadí a  $ \dagger \circ \dagger = id$) a  $ j^{-1}(x)\in H(2)$ pro každý vektor $ x\in {\mathbb{R}}^{4}$.

Nyní ukážeme, že $ J$ je homomorfizmem semigrup, tj. ověříme, že platí $ J(AB)=J(A)J(B)$. Pro každé $ x\in {\mathbb{R}}^4$ platí

$\displaystyle J(AB)x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle j(AB j^{-1}(x) (AB)^{\dagger}) = j(A(B j^{-1}(x)
B^{\dagger})A^{\dagger}) =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle j\{A j^{-1} [j( Bj^{-1}(x) B^{\dagger} )] A^{\dagger}\} = J(A)[j(Bj^{-1}(x)B^{\dagger})] =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle J(A)[J(B)x] = (J(A)J(B))x,$ (380)

což bylo dokázat.

Úkol. Vypočtěte $ J$-obrazy následujících matic

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2799 K_1(\phi)=\left(\begin{array}{cc}
 \cos{\phi} & -\sin{\phi}\\ 
 \sin{\phi} & \cos{\phi}
 \end{array}
 \right),$ (381)

kde $ \phi \in [0,2\pi)$, a

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2801 A(r)=\left(\begin{array}{cc}
 r & 0\\ 
 0 & r^{-1}
 \end{array}
 \right),$ (382)

kde $ r \in {\mathbb{C}}$. V tomto případě dosaďte volbu $ r=e^t$ $ r=e^{i\theta}$. Budeme označovat $ A(r=e^{i\theta})=:K_2(\theta)$, $ A(r=e^t)=:M(t)$.

Řešení. Přímým výpočtem (vyčíslením $ J(A)$ na prvcích kanonické báze, $ J(A)e_i$) obdržíte následující výsledek

$\displaystyle J(K_1(\phi)) =
 \left(\begin{array}{cccc}
 1 & 0 & 0 & 0\\ 
 0 & ...
...\\ 
 0 & 0 & 1 & 0\\ 
 0 & -\sin{2\phi} & 0& \cos{2\phi}
 \end{array}
 \right),$ (383)

$\displaystyle J(M(t)) =
 \left(\begin{array}{cccc}
 \cosh{2t} & 0 & 0 & \sinh{2...
... 0 \\ 
 0 & 0 & 1 & 0 \\ 
 \sinh{2t} & 0 & 0 & \cosh{2t}
 \end{array}
 \right),$ (384)

$\displaystyle J(K_2(\theta)) =
 \left(\begin{array}{cccc}
 1 & 0 & 0 & 0\\ 
 0 ...
... & -\sin{2\theta} & \cos{2\theta} & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 1
 \end{array}
 \right).$ (385)

Pozn. Výše definované matice $ K_1(\phi), A(r)$ spolu s maticí

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2805 N(k) :=
 \left(\begin{array}{cccc}
 1 & k\\ 
 0 & 1
 \end{array}
 \right)$ (386)

představují komponenty rozkladu libovolné matice z grupy $ SL(2,{\mathbb{C}})$ na tzv. kompaktní, abelovskou a nilpotentní část. Tento rozklad je známý v teorii Lieových grup (pro libovolnou komplexní Lieovu grupu) jako Iwasawův nebo KAN-rozklad.

Umíte v tomto konkrétním případě podat geometrickou interpretaci matic v reálné verzi, tj. v  $ SL(2,{\mathbb{R}})$? Uvědomte si, že matice z  $ SL(2,{\mathbb{R}})$ jsou prvky zachovávající objem v  $ {\mathbb{R}}^2$ - tj. obsah v rovině. Nakreslete, na co příslušné matice $ K(\phi)$, $ A(r)$, $ r\in{\mathbb{R}}$, $ N(k)$, $ k\in{\mathbb{R}}$ zobrazí obdélník, jehož střed koinciduje se středem souřadnic.

Úkol. Dokažte, že $ J_{\vert SL(2,{\mathbb{C}})}$ je homomorfizmus grupy $ SL(2,{\mathbb{C}})$ na grupu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2807 Im(J_{\vert SL(2,{\mathbb{C}})}).$    

Řešení. Zúžíme-li $ J$ na $ SL(2,{\mathbb{C}})$, jeho obraz je podgrupou $ O(1,3)$. Tento fakt dokážeme následovně.

Dík předchozímu víme, že

$\displaystyle (J(A)x,J(A)x)_M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits [j^{-1}(J(A)x)] =
\mathop{\rm det}\nolimits (Aj^{-1}(x)A^{\dagger}) =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits (A)\mathop{\rm det}\nolimits j^{-1}(x)\mathop{\rm det}\nolimits A ^{\dagger} =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\cdot(x,x)_M\cdot1 = (x,x)_M,$ (387)

neboť $ A \in SL(2,{\mathbb{C}})$. Odtud plyne, že $ J(A) \in O(1,3)$. Zjistili jsme, že obraz zúženého zobrazení je podmnožinou grupy $ O(1,3)$.

Dík tomu, že $ J$ není jen homomorfizmem semigrup, ale i grup (stačí ověřit, že $ J(A)^{-1}=J(A^{-1})$, což nyní dává smysl, neboť jsme právě zjistili, že $ J(SL(2,{\mathbb{C}})) \subseteq O(1,3)\subseteq GL(4,{\mathbb{R}})$, tj. invertibilnost elementů z  $ J(SL(2,{\mathbb{C}}))$), je jeho homomorfní obraz také grupou.

Definice. (Boost85)Matici $ A \in O(1,3)$ nazveme boost, pokud existuje matice $ Q \in O(3)$, že

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2809 Q A Q^{-1}=L^z_u :=
 \left(
 \begin{a...
... & 0 \\ 
 0 & 0 & 1 & 0 \\ 
 \sinh{u} & 0 & 0 & \cosh{u}
 \end{array}
 \right).$ (388)


Pozn. Matici $ Q$, která je typu $ 3\times 3$, si představujeme jako matici $ 4\times 4$, která vznikne z $ A$ doplněním nultého řádku a nultého sloupce (nahoru a doleva), které až na svůj průnik, kde se nachází jednotka, jsou nulové. $ Q$ je tedy blokově diagonální matice s bloky: $ 1$$ A$. Takovouto matici již umíme násobit s Lorentzovou transformací $ A$.

Úkol. Všimněte si, že $ L^z_u$ (nazývaný boost podél osy $ z$ s rapiditou $ u$) souvisí s běžnými Lorentzovými transformacemi ze ,,střední školy''. Určete vztah mezi faktory $ \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-{v^2}/{c^2}}}$, $ \beta:=\frac{v}{c},$ rychlostí $ v$ na jedné straně a rapiditou $ u$ na straně druhé.

Řešení. Uvažujme, že transformace

$\displaystyle t'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma(t-\frac{\beta}{c}x)$  
$\displaystyle x'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$  
$\displaystyle y'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y$  
$\displaystyle z'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma(z -v t)$ (389)

,,odpovídá'' transformaci $ L_u^z$. Napišme výše uvedenou Lorentzovu transformaci % latex2html id marker 90437
$ (\ref{Lorentz_Lorentzova_transformacia})$ pomocí matice a srovnejme její koeficienty s koeficienty matice $ L^z_u$.

Od ,,pasivní'' transformace souřadnic dané rovnicemi % latex2html id marker 90441
$ (\ref{Lorentz_Lorentzova_transformacia})$ přejdeme k ,,aktivní'' transformaci vektorů $ A$ (tj. k matici přechodu), která je její inverzí. Zjistíme, že

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2811 A=\left(
 \begin{array}{cccc}
 \gamma...
... & 0 & 1 & 0 \\ 
 \frac{\beta}{c}\gamma & 0 & 0 & \gamma
 \end{array}
 \right).$ (390)

Rychlost světla jsme považovali za jednotkovou, neboť jsme tento fakt již předpokládali, když jsme definovali Minkowskiho kvadratickou formu, která se od ,,fyzikální'' lišila právě faktorem $ c^2$ u nulté (časové) souřadnice. Použijeme-li tuto konvenci, dostaneme, že platí: $ v = \mathop{\rm ath}\nolimits u$. Pomocí součtových vzorců pro hyperbolický tangens lze snadno odvodit vzorec pro sčítání (bezrozměrných) rychlostí. Proveďte.

Pozn. V rámci elementární diferenciální topologie lze dokázat, že prvky Lorentzovy grupy, $ O(1,3)$, tvoří šestirozměrnou plochu (hladkou diferencovatelnou varietu) vnořenou do šestnáctirozměrného vektorového prostoru všech matic $ 4\times 4$. Tato plocha sestává ze čtyř komponent souvislosti.

Úkol. Dokažte, že obraz homomorfizmu $ J$, zúženého na $ SL(2,{\mathbb{C}})$ je roven té komponentě souvislosti grupy $ O(1,3)$, která obsahuje neutrální prvek. Tato souvislá komponeneta se značí $ SO(1,3)_{+}$ a nazývá vlastní Lorentzovou grupou.

Řešení. Nejdříve dokážeme, že $ Im J_{\vert SL(2,{\mathbb{C}})} \subseteq SO(1,3)_{+},$ opačnou inkluzi později.

Fakt plyne z tvrzení, že obraz souvislé množiny spojitým zobrazením je souvislý. Nyní již stačí dokázat souvislost $ SL(2,{\mathbb{C}})$. Každý element $ SL(2,{\mathbb{C}})$ můžeme spojit hladkou křivkou s elementem $ id \in SL(2,{\mathbb{C}})$. Tento fakt plyne z toho, že Jordanova matice $ J_A$ k matici $ A \in SL(2,{\mathbb{C}})$ (s jednotkovým determinantem) je tvaru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2813 J_A =
 \left(
 \begin{array}{cc}
 a &...
...
 J_A =
 \left(
 \begin{array}{cc}
 a & 1\\ 
 0 & a^{-1}
 \end{array}
 \right).$ (391)

Tyto matice lze spojit s identitou pomocí křivek

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2815 \gamma (t) = \left(\begin{array}{cc}
 (1-t)+t a & 0\\ 
 0 & [(1-t)+t a]^{-1}
 \end{array}
 \right),\quad t \in [0,1]$ (392)

resp.

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2817 \gamma (t) = \left(\begin{array}{cc}
 (1-t)+t a & t\\ 
 0 & [(1-t)+t a]^{-1}
 \end{array}
 \right),\quad t \in [0,1].$ (393)

Obojí pokud je $ a>0$.

Pro případ $ a<0$ stačí provést drobnou modifikaci. K tomu, abychom dokázali i opačnou inkluzi, je potřeba si uvědomit, že každou vlastní Lorentzovu transformaci $ B\in SO(1,3)_+$ lze psát ve tvaru $ B = R_1 L_u^z R_2$, kde $ R_i$ jsou (vlastní) rotace v třírozměrném podprostoru $ {\mathbb{R}}^3$ v Minkowskiho časoprostoru $ {\mathbb{R}}^4$$ L_u^z$ je boost ve směru $ z$ a rapiditou $ u$.

Označme generátor časové souřadnice $ e_0:=(1,0,0,0)^t$. Definujme vztahem $ Be_0=:(x_0,\vec{x})^t$ reálné číslo $ x_0$ a vektor $ \vec{x}$, jehož složky označme $ \vec{x}=x_1 e_1+x_2 e_2+ x_3 e_3$, kde $ e_i$ jsou prvky kanonické báze $ {\mathbb{R}}^3 \subseteq {\mathbb{R}}^{4}$.

Jelikož $ B$ je Lorentzova transformace zachovává Minkowskiho pseudoskalární součin, platí, že $ x_0^2-(\vec{x},\vec{x})=1^2-(\vec{0},\vec{0})=1$. Zřejmě existuje rotace $ R_1$, která zobrazí $ \vec{x}$ do osy $ z$, tj. $ R_1Be_0=(x_0,0,0,(\vec{x},\vec{x})^{\frac{1}{2}})^t$.

Nyní použijeme boost, jehož tvar vypočteme v $ J$-obrazech. Snažíme se vektor $ R_1Be_0$ převést opět do toho řezu časoprostorem, který je určen rovnicí $ t=1$, tj. do výchozího času. Chceme užít boost ve směru osy $ z$, ansatz je

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2819 M =
 \left(
 \begin{array}{cc}
 r & 0\\ 
 0 & s
 \end{array}
 \right),$ (394)

kde $ r s = 1$. Požadujeme, aby

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2821 M j^{-1}(R_1Be_0)M = 
 \left(\begin{array}{cc}
 1+z & 0\\ 
 0 & 1-z
 \end{array}
 \right) = j^{-1}((1,0,0,z)^t).$ (395)

Tuto rovnici lze splnit pro $ z=0$, $ r=[x_0+(\vec{x},\vec{x})^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{2}}$, $ s=[x_0-(\vec{x},\vec{x})^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{2}}$. Díky tomu, že $ (x,x)_M=1$, je podmínka $ r s = 1$ splněna.

Označme $ L^z=J(M)$. Celkem dostáváme $ L^zR_1Be_0=e_0$. Jelikož $ L^zR_1B$ je Lorentzova transformace, a dík předchozímu víme, že zachovává ,,časový'' podprostor $ {\mathbb{R}} e_0$, musí být (,,pouhou'' vlastní prostorovou) rotací. Označme ji $ R_2$. Z rovnosti $ L_zR_1 B = R_2$ plyne, že $ B=R_2(L^z)^{-1}R_1^{-1}$, což je požadovaný vztah, uvědomíme-li si, že inverze rotace je opět rotace, tentokráte s opačným úhlem, a inverze boostu je boost s opačnou rapiditou.

Tvrzení, které máme dokázat, plyne z Eulerovy věty která tvrdí, že každou rotaci lze napsat ve tvaru $ R=R^z_{\phi}R^y_{\theta}R^z_{\psi}$, kde $ R^n_{\alpha}$ je rotace kolem osy $ n$ o úhel $ \alpha$. Rotaci kolem osy $ y$ resp. $ z$ nagenerujem pomocí $ K_1$ resp. $ K_2$ - viz úloha výše. Boost kolem osy $ z$ jsme spočetli jako $ L^z=J(M)$, viz tamtéž.

Celkem tedy

$\displaystyle A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle J(K_2)J(K_1)J(K_2)J(M)J(K_2)J(K_1)J(K_2) =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle J(K_2K_1K_2MK_2K_1K_2),$ (396)

a proto $ J$ je surjekce obsahující $ SO(1,3)_+$, což spolu s výše dokázanou inkluzí implikuje $ Im(J_{\vert SL(2,{\mathbb{C}})})=SO(1,3)_+$.

Úkol. Dokažte, že $ J:SL(2,{\mathbb{C}})\to SO(1,3)_+$ je zobrazení typu $ 2:1$, tj. že $ \char93  J^{-1}(A)=2$ pro každou $ A\in SO(1,3)_+$.

Řešení. Stačí zjistit, že $ J^{-1}(id)=\{id,-id\}$, což lze ověřit přímým, byť pracným, výpočtem.

$ \ast$SK$ \ast$