Podprostory nad konečným tělesem

Úkol: Určete, kolik různých $ k$-dimenzionálních podprostorů má vektorový prostor {\bb Z}$ _p^n$ pro $ 0\le k \le n$, kde $ p$ je prvočíslo.


Řešení: $ (${\bb Z}$ _p)^n$ (psáno často bez závorek) nad tělesem {\bb Z}$ _p$ je podobně jako {\bb R}$ ^n$ nad {\bb R} prostor dimenze $ n$. Pouze je to konečná množina, která má $ p^n$ prvků. Díky konečnosti platí pěkná tvrzení, například že dva podprostory stejné dimenze $ k$ mají stejný počet prvků, který je samozřejmě roven $ p^k$. Také platí (jako u všech vektorových prostorů), že všechny prostory stejné dimenze nad stejným tělesem jsou navzájem izomorfní, takže vlastnosti libovolného $ k$ rozměrného podprostoru {\bb Z}$ _p^n$ lze zkoumat i na {\bb Z}$ _p^k$.

Nejprve spočtěme, kolik existuje různých $ m$-prvkových posloupností lineárně nezávislých vektorů prostoru {\bb Z}$ _p^n$. Nechť je vybráno prvních $ m-1$ lineárně nezávislých vektorů; $ m$-tý vektor lze vybrat libovolně z vektorů, které neleží v lineárním obalu již vybraných vektorů, těch je $ p^n-p^{m-1}$; $ p^n$ je počet všech vektorů v prostoru dimenze $ n$ a $ p^{m-1}$ je počet vektorů v podprostoru dimenze $ m-1$. Celou $ m$-prvkovou posloupnost lineárně nezávislých vektorů v prostoru dimenze $ n$ nad $ Z_p$ lze tedy vybrat $ \prod\nolimits_{i=0}^{m-1}(p^n-p^i)$ způsoby. Každá $ k$-prvková posloupnost lineárně nezávislých vektorů v  {\bb Z}$ _p^n$ určuje $ k$-dimenzionální podprostor {\bb Z}$ _p^n$ a každý takový podprostor je určen $ \prod\nolimits_{i=0}^{k-1}(p^k-p^i)$ různými posloupnostmi (tolika způsoby lze vybrat $ k$-prvkovou posloupnost jeho lineárně nezávislých prkvů -- v prostoru {\bb Z}$ _p^k$ je to zřejmé, a ten je takovému podprostoru izomorfní). Tedy počet podprostorů dimenze $ k$ je:

$\displaystyle \frac{\prod\limits_{i=0}^{k-1}(p^n-p^i)}
{\prod\limits_{i=0}^{k-1}(p^k-p^i)}\, .$

$ \ast$DK$ \ast$