Konečná tělesa polynomů

Úkol: Uvažujte těleso {\bb T} všech polynomů $ ax+b$, kde $ a,b\in${\bb Z}$ _7$, se sčítáním a násobením modulo polynom $ x^2+2$. Takové těleso má 49 prvků, sčítání v každém řádu $ x$ probíhá modulo $ 7$, například $ 5x+6x=11x=4x$, $ 3\cdot 6=18=4$, $ -(2x+6)=5x+1$, a pokud dostaneme polynom alespoň druhého stupně, odečteme vhodný násobek4 $ x^2+2$, abychom získali polynom nejvýše prvního stupně, například $ (3x+5)(2x+6)=6x^2+28x+30
= 6x^2+2=6x^2+2-6(x^2+2)=-10=4$. Nalezněte metodou subdeterminantu inverzní matici k matici

$\displaystyle \nonumber {A}=\tb{cc}5x&3x\\ 1&4x+5..$

Poznamenejme, že toto těleso nemá myšlenkou daleko k  {\bb C}, kde ale reálná a imaginární část je ze {\bb Z}$ _7$. Místo polynomů $ ax+b$ bychom mohli uvažovat dvojice $ (a,b)$ s následujícími pravidly pro sčítání a násobení (vše modulo $ 7$):

$\displaystyle (a_1,b_1)+(a_2,b_2)$ $\displaystyle \df=$ $\displaystyle (a_1+a_2,b_1+b_2)\,,$  
$\displaystyle (a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)$ $\displaystyle \df=$ $\displaystyle (a_1b_2+a_2b_1,b_1b_2-2a_1a_2)\,.$  

Komplexní čísla ($ z=b+ia$) mají u násobení místo toho $ (a_1b_2+a_2b_1,b_1b_2-a_1a_2)$.


Řešení: Připomínáme

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\mathop{\rm det}\nolimits A}
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} a_{22} & -a_{12}\cr -a_{21} & a_{11}\end{array}\right)\,,
$

srovnejte s příklady 3.2 a 6.5.

Spočtěme si nejdříve determinant matice $ {A}$. Vyjde nám

$\displaystyle {\arraycolsep=2pt\begin{array}{rcl}
 \mathop{\rm det}\nolimits {A}=5x(4x+5)-3x&=&20x^2+22x=-x^2+x=\\ [2mm]
 &=&-x^2+x+(x^2+2)=x+2.
 \end{array}}$ (14)

Nyní je třeba nalézt inverzní prvek k prvku $ x+2$ v tělese {\bb T}, bude jím nějaký polynom $ ax+b$. Z podmínky

$\displaystyle \nonumber 1=(x+2)(ax+b)=ax^2+(2a+b)x+2b=(2a+b)x+(2b-2a)$

dostáváme $ 2a+b=0$, $ 2b-2a=1$ modulo $ 7$. Sečtením obou rovnic získáme $ 3b=1$, $ b=5$ (neb $ 3\cdot5=15=1$), $ a=1$ (neb $ 2\cdot1+5=0$). Inverzní prvek k $ (x+2)$ je tedy $ (x+5)$ a matici $ {A}^{-1}$ spočteme lehce:

$\displaystyle \nonumber{A}^{-1}=(x+5)\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 4x+5&-3...
...{array}{ccccccccccccc} 4x^2+25x+25&-3x^2-15x\cr -x-5&5x^2+25x\end{array}\right)$

Po jednoduché úpravě dostáváme

$\displaystyle {A}^{-1}=\tb{rr}4x+3&6x+6\\ 6x+2&4x+4..$    

Pilný čtenář může ověřit výsledek (15) také řádkovými úpravami $ ({A}\vert{1})$. My už ale uděláme jen zkoušku (ověřte, že následující matice je skutečně jednotková).

$\displaystyle {A}{A}^{-1}=
\tb{rr}20x^2+15x+18x^2+6x&30x^2+30x+12x^2+12x \\
4x+3+24x^2+38x+10&6x+6+16x^2+36x+20.$

Poznamenejme ještě, že při vytváření tělesa není volba polynomu $ x^2+2$ jednoznačná, není ovšem ani neomezená. Polynom $ x^2+2$ je ireducibilní, nedá se rozložit na součin jednodušších. Tohle by neplatilo například pro polynomy $ x^2$, $ x^2+6=(x+1)(x+6)$, $ x^2+3=(x+2)(x+5)$, $ x^2+5=(x+3)(x+4)$. Díky tomu bychom nemohli například v ,,tělese'' modulo polynom $ x^2+5$ nalézt inverzní prvek např. k5 $ (x+3)$.

Celkově ale platí, že pro dané prvočíslo $ p$ a daný stupeň $ n$ polynomu $ q$ jsou všechna tělesa polynomů nad {\bb Z}$ _p$ modulo polynom $ q$ (která mají tedy $ p^n$ prvků) pro všechny ireducibilní polynomy $ q$ vzájemně izomorfní. Takto definovaná komutativní tělesa zároveň vyčerpávají seznam všech konečných těles; obyčejné těleso {\bb Z}$ _p$ získáme pro $ n=1$ a například polynom $ x$, v příkladu výše jsme pracovali s $ p=7$, $ n=2$, $ q=x^2+2$.

$ \ast$LM$ \ast$