Vzorec pro Ludolfovo číslo od Johna Machina

Úkol: Zopakujte si násobení komplexních čísel. Užijte fakt, že $ \mathop{\rm arg}\nolimits (xy)
=\mathop{\rm arg}\nolimits (x)+\mathop{\rm arg}\nolimits (y)$ modulo $ 2\pi$, a dokažte pomocí násobení vhodných komplexních čísel vzorec pro výpočet $ \pi$ nalezený Johnem Machinem (1680-1752) v roce 1706 (autor tehdy spočetl $ \pi$ na 100 míst ručně!)

$\displaystyle \pi=16 \mathop{\rm arctg}\nolimits (1/5) - 4\mathop{\rm arctg}\nolimits (1/239).$ (15)


Řešení: Jelikož tangenta je poměrem protilehlé a přilehlé odvěsny, není těžké vidět, že $ \mathop{\rm arctg}\nolimits (1/5)=\mathop{\rm arg}\nolimits (5+i)$. Podobně platí $ -\mathop{\rm arctg}\nolimits (1/239)=\mathop{\rm arg}\nolimits (239-i)$. Uvažujme $ \mathop{\rm arg}\nolimits (re^{i\phi})=\phi$ vždy v intervalu $ (-\pi,\pi\rangle$. Dokažme nyní rovnost (15) vydělenou čtyřmi. Díky vzorci $ \mathop{\rm arg}\nolimits (xy)
=\mathop{\rm arg}\nolimits (x)+\mathop{\rm arg}\nolimits (y)$ lze psát

$\displaystyle \nonumber 4\mathop{\rm arctg}\nolimits (1/5)-\mathop{\rm arctg}\nolimits (1/239)=\mathop{\rm arg}\nolimits [(5+i)^4\cdot(239-i)]$

Výsledek se má rovnat $ \pi/4$, abychom dokázali (15). Spočteme tedy onen součin.

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
 (5+i)^4(239-i)=[(5+i)^2]^2(239-i)=\\ [2mm]
...
...}=2^2(119+120i)(239-i)
 =2^2(119\cdot 239+120)(1+i).\end{array}\end{displaymath}    

V posledním kroku jsme užili $ 120\cdot 239-119=119\cdot 239+120$, jelikož $ 119+120=239$. Vidíme, že výsledek (16) má shodnou (a kladnou) reálnou a imaginární část, tudíž jeho argument je skutečně roven $ \pi/4$, čímž je důkaz hotov. Čtenář by mohl protestovat, že argument lze určit jen modulo $ 2\pi$, ale snadno lze vidět, že o $ 2\pi$ jsme se zmýlit nemohli, jelikož zjevně $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x<x$ pro $ 0<x$, a tedy

$\displaystyle \nonumber 0<4\mathop{\rm arctg}\nolimits (1/5)-\mathop{\rm arctg}\nolimits (1/239)<\frac{4}{5}.$

Poznamenejme závěrem, že vzorec (15) je jeden z mnoha poměrně efektivních způsobů, jak počítat číslo $ \pi$ numericky. Lze totiž využít řady

$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits (x)=x -\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}{7}
 +\dots$ (16)

a jelikož pro $ x=1/5$ nebo dokonce $ x=1/239$ členy velmi rychle klesají, stačí řádově $ N$ členů pro spočtení výsledku na $ N$ desetinných míst.6 Pokud bychom počítali $ \pi/4=\mathop{\rm arctg}\nolimits 1$ podle (16), potřebovali bychom řádově $ 10^N$ členů. Pokud jste ještě nedokazovali platnost vzorce (16), zderivujte ho a spatříte formuli pro geometrickou řadu $ 1/(1+x^2)$; integrační konstanta musí být nulová, jelikož $ \mathop{\rm arctg}\nolimits 0=0$.

Výpočet $ \pi$ na mnoho míst je samozřejmě výtečnou zábavou mnoha lidí. V době vydání knihy již rekord bude nejspíše zastaralý, ale v červnu 1997 spočetla skupina Japonců na stroji Hitachi SR2201 s 1024 procesory během dvou dnů 51 539 600 000 decimál $ \pi$ pomocí Borweinova algoritmu s konvergencí 4. řádu. Výsledek zkontrolovali během dalších dvou dní pomocí Gaussova-Legendrova algoritmu, jehož výklad přesahuje rámec této knihy. Z počtu míst je snad čtenáři zjevné, že tyto algoritmy jsou ještě mnohem rychlejší.

$ \ast$LM$ \ast$