Jedna obyčejná soustava lineárních rovnic

Úkol: Nalezněte všechna řešení soustavy

$\displaystyle \arraycolsep=2pt \begin{array}{rrrcl}
2x\ +& (2+2i)y\ +& 2iz &\ ...
...(i-1)z &\ =\ & 0 \\
(1+i)x\ +& (1-i) y\ +& (1+i)z &\ =\ & 1\, .
\end{array} $


Řešení: Soustavu zapíšeme pomocí rozšířené matice a řádkovými úpravami ji převedeme na horní trojúhelníkový tvar (či přesněji tvar, kdy je v $ (n+1)$. řádku zleva alespoň o jednu nulu více než v řádku $ n$-tém).

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc\vert r}2 & 2+2i & 2i & 1 \\ 1-i & 1+3i & ...
...ay}{c}(2)=2\cdot(2)-(1-i)\cdot (1)\cr(3)=2\cdot (3)-(1+i)\cdot
(1)\end{array}}$

$\displaystyle \stackrel{\longrightarrow}{\begin{array}{c}\phantom{(3)=(3)+(2)}\...
... 2+2i & 2i & 1 \\ 0 & -2+6i & -4 & -1+i\\ 0 & 2-6i &4 &
1-i\end{array}\right) $

$\displaystyle \stackrel{\longrightarrow}{\begin{array}{c}(3)=(3)+(2)\end{array}...
...ert r}2 & 2+2i & 2i& 1\\ 0 & -2+6i & -4& -1+i\\ 0 & 0 &0 &0\end{array}\right). $

Z posledního řádku vidíme, že celá soustava obsahuje jen dvě nezávislé rovnice (a neobsahuje vzájemně si protiřečící rovnice -- to by odpovídalo například poslednímu řádku $ (0\ 0\ 0\ \vert 1)$), a bude mít proto nekonečně mnoho řešení.

Nejprve nalezneme jedno (libovolné) řešení $ (x,y,z)^T$ takto upravené nehomogenní soustavy. Poslední řádek neklade žádnou podmínku na $ z$, zvolíme si například% latex2html id marker 66403
\setcounter{footnote}{2}\fnsymbol{footnote} $ z=1$. Ze druhého řádku dopočítáme $ y=(4z-1+i)/(-2+6i)=-\frac{1}{2}
i$ a konečně z prvního řádku $ x=\big(1-2iz-(2+2i)y\big)/2=-\frac{1}{2}
i$. Partikulární řešení je tedy $ (-\frac{1}{2}i,-\frac{1}{2}i,1)^T$.

Dále budeme hledat všechna řešení odpovídající homogenní soustavy, tedy

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc\vert r}2 & 2+2i & 2i & 0 \\ 1-i & 1+3i & ...
...ccc\vert r}2 & 2+2i & 2i& 0\\ 0 & -2+6i & -4& 0\\ 0 & 0 &0 &0\end{array}\right)$

Homogenní soustava má vždy tu vlastnost, že pokud jsou nějaké vektory $ (x,y,z)^T$ a $ (x',y',z')^T$ jejími řešeními, pak i vektor $ (\lambda x+\mu x',\lambda y+\mu y',\lambda z+\mu z')^T$ je řešením pro libovolné $ \lambda,\mu\in${\bb C}. Řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tedy tvoří vektorový prostor, a abychom jej popsali, stačí najít jeho bázi, nebo řečeno jinými slovy, najít všechna lineárně nezávislá řešení (maximální množinu lineárně nezávislých řešení).

V našem případě bude existovat jediné nezávislé řešení (tři neznámé, dvě rovnice) a najdeme ho podobně jako řešení partikulární. Poslední řádek neklade podmínku na $ z$, zvolíme tedy% latex2html id marker 66426
\setcounter{footnote}{3}\fnsymbol{footnote} $ z=1$ a z druhého řádku dopočítáme $ y=4z/(-2+6i)=-(1+3i)/5$. Vidíme, že si můžeme zjednodušit život, když místo $ z=1$ zvolíme $ z=5$; pak vyjde samozřejmě $ y=-1-3i$ a konečně $ x=-i-2$. Obecné řešení homogenní soustavy je proto $ \lambda (-i-2,-1-3i,5)^T$, $ \lambda\in${\bb C}.

Libovolné řešení celé (nehomogenní) soustavy lze tedy zapsat ve tvaru $ (-\frac{1}{2}i,-\frac{1}{2}i,1)^T+\lambda (-i-2,-1-3i,5)^T$, $ \lambda\in${\bb C}. Tato množina tvoří afinní vektorový prostor: netvoří tedy vektorový podprostor {\bb C}$ ^3$, má tvar ,,vektor plus vektorový podprostor'' (jinak řečeno, je to prvek faktorprostoru {\bb C}$ ^3/${\bb C}).

$ \ast$KV$ \ast$