Tři základní vektorové prostory

Úkol: U následujících množin se zadanými operacemi sčítání a násobení prvkem z tělesa ukažte, že se jedná o vektorové prostory. Těleso jsou zde vždy komplexní čísla se sčítáním a násobením.

  1. $ n$ je pevně zadáno. {\bb C}$ ^n\equiv
V_1=\{(v_1,\ldots ,v_n),\, x_i\in${\bb C}$ \}$ s operací sčítání po složkách a násobení číslem rovněž po složkách.

       to $ \ds
\vec{v}=(v_1,\ldots,v_n)\,,\ \vec{u}=(u_1,\ldots,u_n)\ \Rightarrow \hfill$$\displaystyle \hss
$

    $\displaystyle \vec{v}+\vec{u}=(v_1+u_1,\ldots,v_n+u_n)\,,\qquad
\lambda\vec{v}=(\lambda v_1,\ldots,\lambda v_n)\,.
$

  2. Množina $ V_2$ posloupností $ (a_i)_{i=0}^\infty$ s komplexními elementy. Sčítání a násobení číslem $ \lambda$ opět ,,po složkách'', tedy

    $\displaystyle (a_i)_{i=0}^\infty+(b_i)_{i=0}^\infty=(a_i+b_i)_{i=0}^\infty\,,\quad \lambda(a_i)_{i=0}^\infty=(\lambda a_i)_{i=0}^\infty\,.
$

    Všimněte si, že plus na levé straně prvního vztahu značí sčítání vektorů (které chceme definovat), zatímco na pravé straně je obyčejné sčítání čísel. Podobně u druhého vztahu násobíme vlevo vektor číslem (prvkem z tělesa) a vpravo násobíme číslo číslem.

  3. Množina $ V_3$ všech spojitých funkcí $ \langle 0;1\rangle\to${\bb C}. Sčítání je definováno podobně jako u posloupností, tedy bodově

    $\displaystyle \big(f+g\big)(x)=f(x)+g(x)\,,\quad \big(\lambda f\big)(x)=\lambda f(x)\,.
$


Řešení: Důkaz provedeme pouze v prvním případě, ostatní příklady jsou naprosto analogické. Prvky z prostoru $ V_3$ si můžeme představit podobně jako vektor z  {\bb C}$ ^n$, jednotlivé složky vektoru ale nejsou označeny čísly $ i=1,2,\ldots,n$, ani $ i=1,2,\ldots$ jako v případě $ V_2$, ale spojitým indexem $ 0\le x\le 1$.

Uvažujme tedy dva libovolné vektory $ \vec{v}=(v_1,\ldots,v_n)$, $ \vec{u}=(u_1,\ldots, u_n)$$ V_1$ a jakákoliv dvě čísla $ x,y\in${\bb C}. Definici vektorového prostoru shrneme do následujících bodů

  1. $ V_1$ s operací sčítání je komutativní grupa. Vidíme, že $ \vec{u}+\vec{v}$ je opět prvek z $ V_1$ a sčítání prvků z $ V_1$ je zřejmě asociativní i komutativní. Neutrální prvek je $ (0,\ldots,0)$ a inverzní prvek k $ \vec{v}$ je $ -\vec{v}=(-v_1,\ldots,-v_n)$, které oba leží ve $ V_1$.

  2. Má platit $ (xy)\vec{v}=x(y\vec{v})$; uvědomte si, že na levé straně násobíme nejprve čísla $ x$ a $ y$ a výsledkem násobíme vektor, zatímco vpravo násobíme dvakrát vektor číslem. Tvrzení platí, obě strany jsou rovny $ (xyv_1,\ldots,xyv_n)$.

  3. $ (x+y)\vec{v}=x\vec{v}+y\vec{v}$. Podobná situace jako v předchozím bodě: dáváme do souvislosti sčítání čísel a sčítání vektorů. V tomto případě jsou obě strany rovny $ \big((x+y)v_1,\ldots
(x+y)v_n\big).$

  4. $ x(\vec{v}+\vec{u})=(xv_1+xu_1,\ldots, xv_n+xu_n)=
x\vec{v}+x\vec{u}$.

  5. $ 1\vec{v}=\vec{v}$.

$ \ast$KV$ \ast$