Jeden neobvyklejší vektorový prostor

Úkol: Ukažte, že množina $ A=\{\vec{a}=(a_1,a_2),\ a_1,a_2\in (0;\infty)\}$ s operacemi

$\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=(a_1b_1,a_2b_2)\,,\qquad x\vec{a}=(a_1^x,a_2^x)\,
$

tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Najděte izomorfizmus mezi tímto prostorem a {\bb R}$ ^2$.


Řešení: Stejně jako v příkladu 4.2 projdeme pět bodů definice vektorového prostoru. Buďte opět $ \vec{a}=(a_1,a_2)$, $ \vec{b}=(b_1,b_2)$ prvky z $ A$ a $ x,y$ libovolná reálná čísla.

  1. Sčítání prvků z $ A$ dává opět vektor z $ a$ (součin dvou kladných čísel je kladné číslo) a je asociativní a komutativní, neboť těmito vlastnostmi oplývá i násobení kladných reálných čísel. Neutrální prvek, tedy nulový vektor, je $ (1,1)$ a inverzní prvek k  $ \vec{a}\in A$ je $ -\vec{a}=(1/a_1,1/a_2)\in A$.

  2. $ xy\vec{a}=(a_1^{xy},a_2^{xy})=\big((a_1^y)^x,(a_2^y)^x\big)=
x(y\vec{a})\,
$

  3. $ (x+y)\vec{a}=(a_1^{x+y},a_2^{x+y})=\big(a_1^xa_1^y,a_2^xa_2^y\big)=
x\vec{a}+y\vec{a}
$

  4. $ x(\vec{a}+\vec{b})=\big((a_1b_1)^x,(a_2b_2)^{y})=
\big(a_1^xb_1^x,a_2^xb_2^x\big)=x\vec{a}+x\vec{b}
$

  5. $ 1\vec{a}=(a_1^1,a_2^1)=(a_1,a_2)=\vec{a}$.
Zobrazení

$\displaystyle \varphi :\ A\ni (a_1,a_2)\mapsto (\ln a_1,\ln a_2)\in${\bb R}$\displaystyle ^2
$

je bijekce mezi množinami $ A$ a {\bb R}$ ^2$, neboť je surjektivní ( $ \varphi (A)=${\bb R}$ ^2$) i injektivní (prosté). Protože se ,,chová správně'' k operacím

$\displaystyle \varphi (\vec{a}+\vec{b})=(\ln a_1+\ln b_1,\ln a_2+\ln
b_2)=\varphi (\vec{a})+\varphi (\vec{b})
$

$\displaystyle \varphi (x\vec{a})=(x\ln a_1,x\ln a_2)=x\varphi (\vec{a})\,,
$

je to také izomorfizmus mezi vektorovými prostory $ A$ a {\bb R}$ ^2$. Z toho například plyne, že oba prostory mají stejnou dimenzi. Takových izomorfizmů existuje více: lze například volit logaritmy o různém základu, ale ani tím ještě nejsou všechny možnosti vyčerpány.

$ \ast$KV$ \ast$