Je to podprostor, není to podprostor...

Úkol: U následujících podmnožin, které jsou součástí vektorových prostorů $ V_1$, $ V_2$, $ V_3$ (z příkladu 4.2), určete, zda se jedná o vektorové podprostory. Pokud ano, určete jeho dimenzi. U konečnědimenzionálních podprostorů nalezněte nějakou jejich bázi. Tělesem je vždy {\bb C}.

  1. $ \{(x,y,z,u)\in${\bb C}$ ^4,\ x+y+5z=0\}$

  2. $ \{(0,x,y,z,u)\in${\bb C}$ ^5,\ x-2y+3z=0,\ x+y=0\}$

  3. $ \{(x,y,z)\in${\bb C}$ ^3,\ x^2+y=0\}$

  4. $ \{(x,y,z)\in${\bb C}$ ^3,\ x+y+z=1\}$

  5. Posloupnosti z $ V_2$, pro které konverguje řada $ \sum_{i=0}^\infty \vert a_i\vert^2$.

  6. Všechny omezené funkce z $ V_3$ neboli funkce, pro něž existuje $ M\in${\bb R} takové, že $ \vert f(x)\vert\le M$, $ \forall x\in \langle 0;1\rangle$.

  7. Všechny funkce z $ V_3$, které splňují $ \vert f(x)\vert<1$, $ \forall x\in \langle 0;1\rangle$.

  8. Funkce z $ V_3$, které nemají žádný nulový bod.

  9. Funkce z $ V_3$, které splňují $ f(0)=f(1)=0$ (homogenní okrajové podmínky).

  10. Funkce z $ V_3$, které splňují $ f(0)=f(1)=5$.

  11. Všechny po částech konstantní funkce$ V_3$ (funkce, pro něž lze rozdělit $ \langle 0;1\rangle$ na konečný počet podintervalů, na nichž je funkce konstantní; používá se také název schodové funkce).

  12. Polynomy stupně $ n$ spolu s identicky nulovou funkcí.

  13. Polynomy stupně nejvýše $ n$.

  14. Polynomy stupně nejvýše $ n$, které mají kořeny $ \frac{1}{2}$ a $ \frac{1}{4}$.

  15. Všechny funkce {\bb R}$ \to${\bb R} s (nejmenší) periodou $ 2\pi$.

  16. Všechny funkce {\bb R}$ \to${\bb R} s racionální periodou.

  17. Všechny periodické funkce {\bb R}$ \to${\bb R}.

Poznámka: na příklady vektorových prostorů narazíte také v příkladu 12.1.


Řešení: Stačí vždy jen ověřit, zda je příslušný podprostor uzavřený vzhledem ke sčítání vektorů a násobení vektorů číslem a zda obsahuje nulový vektor. V některých případech zůstane tato práce čtenáři. První slovo v následujícím výčtu je vždy odpověď na otázku, zda je příslušná množina vektorový podprostor.

  1. Ano. Pokud $ x_1+y_1+5z_1=0$ a $ x_2+y_2+5z_2=0$ pro nějaké dva vektory $ \vec{v}_1$, $ \vec{v}_2$, pak to platí i pro $ \vec{v}_1+\vec{v}_2$ (stačí obě rovnice sečíst) a pro $ \lambda\vec{v}$ (stačí první rovnici násobit $ \lambda$).

    Dimenze tohoto prostoru je 3, neboť jej lze chápat jako množinu řešení soustavy s jednou nezávislou lineární rovnicí a čtyřmi neznámými. Báze je například $ (1,-1,0,0)$, $ (0,5,-1,0)$, $ (0,0,0,1)$.

  2. Ano. Argumentace je podobná jako u bodu 1, dimenze je dvě ($ 5-3$, jedna rovnice je $ v_1=0$), báze je například $ (0,1,-1,-1,0)$, $ (0,0,0,0,2)$.

  3. Ne. Příčina je, že rovnice podmínky není lineární. Následek pak je, že například pro prvek této množiny $ \vec{v}=(2,-4,1)$ leží $ 2\vec{v}$ mimo množinu.

  4. Ne. Rovnice podmínky je sice lineární, ale není homogenní. Tedy pokud $ \vec{v}=(1,1,-1)$ rovnici splňuje, pak $ 2\vec{v}$ splňuje rovnici $ x+y+z=2$, nikoliv $ x+y+z=1$.

  5. Ano. Pokud jsou $ (a_i)$, $ (b_i)$ dvě posloupnosti, pro něž uvedená řada konverguje a součty jsou $ A$ a $ B$, pak $ (a_i+b_i)$ konverguje se součtem nejvýše $ A+B$. To plyne z trojúhelníkové nerovnosti $ \vert a_i\vert^2+\vert b_i\vert^2\le \vert a_i+b_i\vert^2$, která platí pro každý sčítanec řady zvlášť. Prostor je nekonečnědimenzionální, označuje se někdy $ \ell_2$.

  6. Ano. Pokud jsou dvě funkce omezené konstantami $ M_1$, $ M_2$, pak je součet těchto funkcí omezen $ M_1+M_2$.

  7. Ne. Funkce $ f(x)=\frac{1}{2}\sin \pi x$ v této množině leží, ale $ 2f(x)$ nikoliv.

  8. Ne. Například už jenom proto, že v množině není nulový vektor (identicky nulová funkce).

  9. Ano. Součet dvou funkcí, které mají v bodě nula hodnotu nula, má v bodě nula opět hodnotu nula. Prostor je nekonečnědimenzionální.

  10. Ne. Už jen kvůli nulovému vektoru.

  11. Ano. Prostor má nekonečnou dimenzi díky volnosti ve volbě dělení intervalu. Pokud bychom změnili definici této množiny a žádali, aby bylo dělení intervalu $ \langle 0;1\rangle$ vždy stejné, například na $ \langle 0;x_0)$, $ \langle x_0;x_1)$, $ \ldots$, $ \langle
x_n;1\rangle$, bude dimenze $ n+1$ (tedy počet intervalů). Všimněte si přímočaré podobnosti s  {\bb R}$ ^{n+1}$.

  12. Ne. Že jsme přidali nulový vektor, nám nepomůže. Součet polynomů $ x^n+1$ a $ -x^n$ je polynom stupně nula, tedy nikoliv $ n$.

  13. Ano. Dimenze prostoru je $ n+1$, bázi tvoří například funkce $ 1,x,\ldots, x^n$. Tento prostor je samozřejmě izomorfní {\bb C}$ ^{n+1}$, příslušný izomorfizmus přiřadí například $ f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ vektor $ (a_0,\ldots,a_n)\in${\bb C}$ ^{n+1}$.

  14. Ano. Prostor má dimenzi $ n-1$ pro $ n\ge 2$. Pro $ n=1$ a $ n=0$ obsahuje tento prostor pouze nulový vektor. Bázi prostoru tvoří například funkce $ (x-\textstyle\frac{1}{2})(x-\frac{1}{4})$, $ x(x-\textstyle\frac{1}{2})(x-\frac{1}{4}),\ \ldots, x^{n-2}(x-\textstyle\frac{1}{2})(x-\frac{1}{4})$.

  15. Ano. Prostor lze ztotožnit se spojitými funkcemi na $ \langle
0;2\pi)$ a má nekonečnou dimenzi. To plyne z toho, že například již jen $ \sin x$, $ x\sin x$, $ x^2\sin x$, $ \ldots$, jako funkce $ f:\langle
0;2\pi)\to${\bb R}, tvoří bázi jednoho jeho nekonečnědimenzionálního podprostoru.

  16. Ano. Pokud má $ f$ periodu $ P_1=p_1/q_1$ a $ g$ periodu $ P_2=p_2/q_2$ ( $ p_{1,2},q_{1,2}\in$   {\bb N}), pak platí $ \big(f+g\big)(x+p_1p_2)=
f(x+p_1p_2)+g(x+p_1p_2)=f(x+q_1p_2P_1)+g(x+p_1q_2P_2)=f(x)+g(x)=
\big(f+g\big)(x)$. Jinými slovy pro dvě racionální periody najdeme vždycky společný celočíselný násobek (společnou periodu). Prostor je nekonečnědimenzionální.

  17. Ne. Funkce $ \sin x+\sin \sqrt{2}x$ není periodická, je to jiz tzv. kvaziperiodická funkce (a prostor takovýchto funkcí, tedy souctu periodických funkcíje jiz lineárním prostorem).

$ \ast$KV$ \ast$