Lineární závislost vektorů z  {\bb R}$ ^4$

Úkol: Jsou následující vektory z  {\bb R}$ ^4$ lineárně závislé?

$\displaystyle \vec{v}_1=(4,-5,2,6),\ \vec{v}_2=(2,-2,1,3),\
$

$\displaystyle \vec{v}_3=(6,-3,-3,9),\
\vec{v}_4=(4,-1,5,6)
$

Pokud ano, najděte lineární kombinaci, která netriviálně dává 0 (nulový vektor).


Řešení: Zadané vektory si zapíšeme do matice jako řádky a snažíme se ji upravit Gaussovou eliminační metodou. Řádky matice nadále budeme brát jako vektory a označovat je $ v_{ij}$, kde $ i$ označuje pořadí vektoru a $ j$ počet úprav, které byly na vektoru provedeny (tedy například $ \vec{v}_{i0}\equiv \vec{v}_i$ ze zadání).

   to $ \ds
\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
4 & -5 & 2 & 6 \cr
2 & -2 & 1 & 3 ...
...31}-3\vec{v}_{21}\cr
\vec{v}_{42}=\vec{v}_{41}-4\vec{v}_{21}\end{array}}\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 4 & -5 & 2 & 6 \cr
0 & 1 & 0 &...
...6 \cr
0 & 1 & 0 & 0\cr
0 & 0 & -6 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 0\cr\end{array}\right)$$\displaystyle \hss
$

Vidíme, že zadané vektory jsou lineárně závislé. Tzn. z daných vektorů můžeme utvořit netriviální lineární kombinaci rovnající se vektoru $ (0,0,0,0)$ (zpětně):

   to $ \ds
(0,0,0,0)=\vec{v}_{43}=2\vec{v}_{42}+\vec{v}_{32}=
2[\vec{v}_{41}-4\vec{v}_{21}]+\vec{v}_{31}-3\vec{v}_{21}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle =2[\vec{v}_{40}-\vec{v}_{10}-4(2\vec{v}_{20}-\vec{v}_{10})]+
\vec{v}_{30}-3\vec{v}_{20}-3(2\vec{v}_{20}-\vec{v}_{10})=$

   to $ \hfill\ds
=9\vec{v}_{1}-25\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}+2\vec{v}_{4}\,.$$\displaystyle \hss
$

Tím jsme dostali hledanou netriviální kombinaci dávajíci nulový vektor.

$ \ast$MB,ZV$ \ast$