Dimenze lineárního obalu

Úkol: Určete, jaká je dimenze prostoru napnutého11 na funkcích $ f$, $ g$, $ h$ (uvazovaných na netriviálním intervalu):

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\sin x-4\cos x -\sin 2x$  
$\displaystyle g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\sin x-6\cos x -3\sin 2x$  
$\displaystyle h(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x+\cos x -a\sin 2x$  

v závislosti na reálném parametru $ a$.


Řešení: Uvažujme prostor $ V=${\Cal L}$ (\{\sin x,\cos x,\sin 2x\})$, jehož je {\Cal L}$ (\{f,g,h\})$ jistě podmnožinou. Funkce $ \sin x$, $ \cos x$, $ \sin
2x$ jsou nezávislé (viz příklad 6.2), a tvoří tedy bázi $ V$. Můžeme například funkce $ f,g,h$ vyjádřit pomocí složek v této bázi (můžeme si ale zvolit i jakoukoliv jinou bázi), čímž převedeme problém do {\bb R}$ ^3$.

$\displaystyle \vec{f}=(a,-4,-1)\,,\quad \vec{g}=(4,-6,-3)\,,\quad
\vec{h}=(1,1,-a)\,.
$

Dimenzi lineárního obalu vektorů v  {\bb R}$ ^3$ zjistíme snadno pomocí Gaussovy eliminace. Zapíšeme vektory do řádků matice a eliminujeme.

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} a&-4&-1\cr 4&-6&-3\cr 1&1&-a\e...
...ghtarrow}{\begin{array}{c}(2)=(2)-4\cdot(1)\cr (3)=(3)-a\cdot (1)\end{array}}
$

   to $ \hfill\ds
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 1 & -a\cr 0&-10 & -3+4a\cr ...
...rray}{ccccccccccccc} 1&1&-a\cr 0&-10&-3+4a\cr 0&0&-6a^2+13a-2\end{array}\right)$$\displaystyle \hss
$

Vidíme, že pro $ -6a^2+13a-2=0$, tedy $ a_{1,2}=\frac{1}{6},2$, jsou v poslední matici dva nezávislé řádky. V ostatních případech jsou nezávislé všechny tři řádky.

Dodejme, že pokud bychom nebyli prohodili na začátku první a třetí řádek, měli bychom podstatně více práce. Kromě toho, že bychom dostali v matici mnohem více elementů závislých na $ a$, museli bychom například už v prvním kroku $ (2)=a\cdot(2)-4\cdot (1)$ provádět diskuzi. Tento krok je totiž možný pouze pro $ a\not=0$. V opačném případě uměle snižujeme dimenzi lineárního obalu řádků matice tím, že vymažeme druhý řádek a nahradíme ho $ (-4)$-krát prvním. Při úpravách, které jsme prováděli v našem řešení, diskuzi provádět není třeba, neboť naše úpravy spočívaly v násobení upravovaného řádku nenulovým (pevným) číslem a přičítání lineární kombinace ostatních řádků (která závisela na $ a$). Samozřejmě nám nevadí, když například v první úpravě ke třetímu řádku přičteme první řádek krát nula.

$ \ast$KV$ \ast$