Hodnost lineárního zobrazení

Úkol: V prostoru $ V$ polynomů nejvýše třetího stupně uvažujme podprostor $ W=${\Cal L}$ (\{f_1,f_2,f_3,f_4\})$

$\displaystyle f_1(x)=3x^2+x+2\,,\quad f_3(x)=x^3+x-3\,,
$

$\displaystyle f_2(x)=-3x^3+6x^2-x+13\,,\quad f_4(x)=2x^3+3x^2+3x-4\,.$

Dále uvažujme zobrazení $ a:V\to V$, $ a:f\mapsto f'$ (derivace12) a zobrazení $ b:${\Cal L}$ (\{1,x,x^2\})\to V$, $ b:f(x)\mapsto xf(x)$.
  1. Určete dimenzi $ W$.
  2. Určete hodnost zobrazení $ a:V\to V$ a hodnost $ a\vert _W$, jeho restrikce na $ W$ (tedy derivace, která z $ W$ zobrazuje do $ V$). Ověřte platnost tvrzení $ \dim\mathop{\rm Im}\nolimits f+\dim$Ker $ {}
f=\dim V$ pro obě zobrazení.
  3. Ukažte, že se zobrazení $ ab$ a $ ba$ na $ U=${\Cal L}$ (\{1,x,x^2\})$ liší.


Řešení: Hned na začátku je dobré si uvědomit, že obě zobrazení jsou skutečně lineární, tedy že platí $ a(f+g)=af+ag$ a $ a(\lambda
f)=\lambda af$.


1. Zadané vektory zapíšeme v bázi $ \{x^3,x^2,x,1\}$, čímž celou úlohu převedeme do {\bb R}$ ^4$. Vektory složek zapíšeme do řádků matice a Gaussovou eliminací ji převedeme na horní trojúhelníkový tvar.

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&3&1&2\cr -3&6&-1&13\cr 1&0&1...
...y}{ccccccccccccc} 1&0&1&-3\cr 0&6&2&4\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\end{array}\right)
$

Vidíme tedy, že dimenze $ W$ je dvě.

První krok (prohození prvního a třetího řádku) jsme udělali proto, že prvek $ a_{11}$ (pivotní prvek) musí být nenulový. Podobná situace může nastat samozřejmě i později. Pokud pracujeme numericky (na počítači, s konečnou přesností), je vždy výhodné prohodit řádky tak, aby byl pivotní prvek co největší.


2. Hodnost obecného zobrazení $ f:X\to X$ je totéž co dimenze jeho obrazu, tj. prostoru $ f(X)$. Zjistíme ji tedy například tak, že v $ X$ zvolíme nějakou bázi $ \{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\}$ a nalezneme dimenzi lineárního obalu $ \{f(\vec{v}_1),\ldots, f(\vec{v}_n)\}$.

My si zvolíme ve $ V$ opět bázi $ B=\{x^3,x^2,x,1\}$ a vidíme, že $ a(B)=\{3x^2,2x,1,0\}$, tedy $ h(a)=\dim$   {\Cal L}$ \big(a(B)\big)=3$.

Jádro $ a$ je jednorozměrný prostor všech konstantních funkcí, v našem zápisu {\Cal L}$ (\{1\})$. Rovnost $ \dim\mathop{\rm Im}\nolimits
a+\dim$Ker $ {}a=4$ je tudíž splněna.

Pro $ W$ to můžeme udělat podobně. Víme, že $ \dim W=2$, za bázi si tedy zvolíme například funkce $ f_1(x),f_2(x)$, které jsou očividně nezávislé, tedy {\Cal L}$ (\{f_1,f_2,f_3,f_4\})=${\Cal L}$ (\{f_1,f_2\})=$ Funkce $ af_1(x)=6x+1$, $ af_2(x)=-9x^2+12x-1$ jsou ale také nezávislé, a tedy je $ h( a\vert _W)=2$.

Zobrazení $ a\vert _W$ je injektivní (prosté), protože13 v průniku $ W$ a {\Cal L}$ (\{1\})=$Ker $ {}a$ leží jen nulový vektor. Pokud pro důkaz této skutečnosti nemůžeme použít $ \dim$Ker $ {}a\vert _W=\dim W-h( a\vert _W)=0$ (např. proto, že to máme dokázat), je nejvýhodnější ukázat, že $ \dim${\Cal L}$ (\{f_1(x),f_2(x),1\})=3$.


3. I pro tento úkol je nejvhodnější sledovat, jak působí zobrazení na nějakou bázi v daném prostoru. Pokud zvolíme za tuto bázi přímo $ \{1,x,x^2\}$, vidíme, že $ baU=${\Cal L}$ (\{0,x,2x^2\})$; všimněte si, že $ h( ba)\le
\min\{h(b),h(a)\}=2$, jak má být. Naproti tomu $ abU_1=${\Cal L}$ (\{1,2x,3x^2\})$, tedy nejenže $ ab$ a $ ba$ působí jinak například na $ x^2$, ale dokonce i hodnosti těchto zobrazení nejsou stejné.

$ \ast$KV$ \ast$