Složky vektoru vzhledem k ortogonální bázi

Úkol:

  1. Určete souřadnice vektoru $ \vec{v} = (2,5,6)
$ vzhledem k bázi

    $\displaystyle B=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}
=\{(1,2,1),(1,1,-3),(-7,4,-1)\}$

    a zapište $ (2,5,6) $ jako příslušnou lineární kombinaci.

  2. Udělejte totéž ,,chytřejší'' metodou, která využívá skutečnosti, že báze je ortogonální.


Řešení:

  1. Řešíme soustavu

    $\displaystyle v_1\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr 2\cr 1\end{array}\righ...
...y}\right)=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2\cr 5\cr 6\end{array}\right)\,,
$

    neboli

    $\displaystyle \left(\left.\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 1 & -7\cr 2 & 1 & 4\...
...ray}\right\vert \begin{array}{ccccccccccccc} 2\cr 5\cr 6\end{array}\right)\,.
$

    Gaussovou eliminací získáme

    $\displaystyle A=\left(\left.\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0...
...ray}\right\vert\begin{array}{ccccccccccccc} 3\cr -1\cr 0\end{array}\right)\,.
$

    Tedy $ \vec{v}=(3,-1,0)_B$ neboli $ \vec{v} = 3\vec{u}_1 - \vec{u}_2$.

  2. Báze $ B$ splňuje $ \vec{u}_i\cdot \vec{u}_j=0$ pro $ i\not=j$ (ověřte). Díky tomu platí

    $\displaystyle \vec{v}=v_1\vec{u}_1+v_2\vec{u}_2+v_3\vec{u}_3\ \Rightarrow\
\vec{v}\cdot \vec{u}_i=v_i\Vert\vec{u}_i\Vert^2\,.
$

    Tedy například $ v_1 = \frac{(2,5,6)\cdot(1,2,1)}{\Vert(1,2,1)\Vert^2} =
\frac{18}{6}= 3$.

$ \ast$PV,KV$ \ast$