Báze, souřadnice, homomorfizmy

Úkol: Ve vektorovém prostoru {\bb R}$ ^3$ jsou dány dve mnoziny vektorů $ S$ a $ N$.

$\displaystyle S=\left \{ \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)...
...ray}{c}1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)
\right \}=\left \{ \vec{s}_i\right \}
$

$\displaystyle N=\left \{ \left( \begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)...
...y}{c}-1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)
\right \}=\left \{ \vec{n}_i \right \}
$

Dále buď $ T$ lineární zobrazení $ T:$   {\bb R}$ ^3 \rightarrow$   {\bb R}$ ^3$ definované takto:

$\displaystyle T\vec{x}=T\left(\begin{array}{ccccccccccccc} x_1 \cr x_2 \cr x_3\...
...begin{array}{ccccccccccccc} x_1 + x_2 \cr 2x_2 \cr x_1-x_3\end{array} \right)
$

  1. Ověřte, ze mnoziny $ S$ i $ N$ tvoří bázi vektorového prostoru {\bb R}$ ^3$.
  2. Určete souřadnice vektorů $ \vec{n}_i$ vůči bázi $ S$. Určete souřadnice vektorů $ \vec{s}_i$ vůči bázi $ N$. Jaké jsou souřadnice $ \vec{s}_i$ vůči bázi $ S$?
  3. Buď $ \vec{c}$ vektor, který má vůči bázi $ N$ souřadnice $ c_1, \ c_2, \ c_3$. Najděte jeho souřadnice v bázi $ S$.
  4. Najděte matici lineárního zobrazení $ T$ vůči bázi $ S$ a vůči bázi $ N$.


Řešení:


1. Abychom ukázali, ze dotyčný soubor vektorů $ S$ (resp. $ N$) tvoří bázi, je třeba ověřit dvě podmínky. Kazdý vektor z prostoru {\bb R}$ ^3$ musí být možno vyjádřit jako lineární kombinaci prvků mnoziny $ S$ (resp. $ N$) a dané vektory musí být lineárně nezávislé. Protoze dimenze prostoru {\bb R}$ ^3$ je tři a zadané mnoziny jsou tříprvkové, stačí, kdyz budou vektory v mnozině $ S$ (resp. $ N$) lineárně nezávislé a první podmínka bude splněna automaticky. Připomeňme si, ze lineární nezávislost vektorů $ \vec{s}_i$ znamená platnost následující implikace

$\displaystyle c_1\vec{s}_1+c_2\vec{s}_2 +c_3\vec{s}_3=0 \quad \Rightarrow \quad c_1=c_2=c_3=0
$

Musíme tedy ukázat, ze rovnice $ c_1\vec{s}_1+c_2\vec{s}_2
+c_3\vec{s}_3=0 $ (pro neznámé $ c_1, \ c_2, \ c_3$) má pouze triviální řešení (tzn. samé nuly). Uvedená rovnice je

$\displaystyle c_1 \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)+
c_2 ...
...\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right),
$

coz můzeme v maticové podobě napsat jako

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & ...
...\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right).
$

Vidíme, ze matice $ A$ soustavy je regulární (například proto, ze $ \mathop{\rm det}\nolimits A = -1 \not = 0$; nebo proto, že když odečteme od třetího řádku první řádek, dostaneme matici v horním trojúhelníkovém tvaru), a tedy jediný vektor, který se zobrazí na nulový vektor, je nulový vektor. Uvedená soustava vektorů $ \vec{s}_i$ je proto nezávislá a mnozina $ S$ je báze {\bb R}$ ^3$. Naprosto stejným postupem zjistíme, ze také mnozina $ N$ je báze {\bb R}$ ^3$.


2. Souřadnicemi vektoru $ \vec{n}_1$ vůči bázi $ S$ rozumíme takové koeficienty $ a_i$, ze platí

$\displaystyle \vec{n}_1=a_1\vec{s}_1+a_2\vec{s}_2 +a_3\vec{s}_3.
$

Po dosazení dostaneme

$\displaystyle a_1 \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)+
a_2 ...
...\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right),
$

coz v maticovém tvaru napíšeme takto

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & ...
...\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right).
$

V tomto případě lze koeficienty $ a_i$ snadno uhádnout, ale to nemusí jít vzdy. K vyřešení soustavy pouzijeme třeba Cramerovo pravidlo (nemáme-li rádi determinanty, použijeme například Gaussovu eliminaci, viz příklad 1.1). Pro koeficient $ a_i$ dostaneme vyjádření

$\displaystyle a_i=\frac{\mathop{\rm det}\nolimits B_i}{\mathop{\rm det}\nolimits B},
$

kde $ B$ je matice soustavy a $ B_i$ je matice soustavy, v níz místo $ i$-tého sloupce napíšeme sloupec pravé strany. Koeficienty $ a_i$ jsou

$\displaystyle a_1=\frac{1}{-1}\left\vert \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 ...
...array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0
\end{array} \right\vert=0\,,
$

$\displaystyle a_3=\frac{1}{-1}\left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1
\end{array} \right\vert=1\,.
$

Pro vektor $ \vec{n}_1$ jsme tedy našli vyjádření pomocí vektorů $ \vec{s}_i$ jako $ \vec{n}_1=1\vec{s}_1 + 1 \vec{s}_3$. Tuto skutečnost budeme zapisovat tímto způsobem: $ \vec{n}_1^T=(1, 0, 1)_S$, kde indexem $ S$ chceme naznačit, ze se jedná o slozky vektoru $ \vec{n}_1$ vuci bázi $ S$. Naprosto stejným postupem najdeme slozky ostatních vektorů $ \vec{n}_i$ vůči bázi $ S$. Konečným výsledkem našeho snazení bude

$\displaystyle \vec{n}_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)...
...quad
\vec{n}_3=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)_S\,.
$

Povšimněme si toho, ze vztahy typu $ \vec{n}_1=1\vec{s}_1+0\vec{s}_2+1\vec{s}_3$ lze ve zkratce napsat jako

$\displaystyle (\vec{n}_1 , \vec{n}_2 , \vec{n}_3)=
 (\vec{s}_1 , \vec{s}_2 , \v...
...\\ 
 1 & 0& -1
 \end{array}
 \right)
 =(\vec{s}_1 , \vec{s}_2 , \vec{s}_3) C\,,$ (19)

kde matice $ C$ má ve sloupcích souřadnice vektorů báze $ N=\left \{
\vec{n}_i \right \}$ vůči bázi $ S=\left \{ \vec{s}_i \right \}$. Taková matice se nazývá matice přechodu od báze $ S$ k bázi $ N$.

Naším dalším úkolem je najít souřadnice vektorů $ \vec{s}_i$ vůči bázi $ N$. Bylo by jistě nad míru úmorné opakovat znovu celý předcházející postup. Naštěstí nám stačí podívat se na výše uvedenou rovnici a máme hned výsledek, totiz

$\displaystyle (\vec{n}_1,\vec{n}_2,\vec{n}_3) C^{-1}=(\vec{s}_1 , \vec{s}_2 , \vec{s}_3)\,,
$

kde pozadované hodnoty souřadnic vektorů $ \vec{s}_i$ vůči bázi $ N$ čteme po řadě ve sloupcích matice $ C^{-1}$. Zbývá vypočítat inverzi matice $ C$. To provedeme klasickým způsobem, a sice tak, ze si vedle sebe napíšeme matici $ C$ a matici identity $ I$ a provádíme povolené (rozuměj ekvivalentní řádkové) úpravy matice $ \left(C \mid I \right)$ dokud nedostaneme matici $ \left(I \mid U \right)$. Právě matice $ U$ je inverzní maticí k matici $ C$.

$\displaystyle %\fleqn{ \left(C \mid I \right)=
$   to \begin{displaymath}\ds \hskip-1.5pt\left(
\begin{array}{ccccccccccccc}
1 & -1...
...ongrightarrow}{\begin{array}{c}(3)\to (3)-(2)\end{array}}\hfill\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

   to \begin{displaymath}\ds \hskip-1.5pt\left(
\begin{array}{ccccccccccccc}
1 & -1...
...\frac{1}{2} \cr
-1 & -1 & 1\end{array}
\right.
\right)\hfill\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

   to \begin{displaymath}\hfill\ds
\hskip-1.5pt\stackrel{\longrightarrow}{\begin{arr...
...1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}
\right.
\right)\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

Pro souřadnice vektorů $ \vec{s}_1$ vůči bázi $ N$ konečně dostaneme

$\displaystyle (\vec{s}_1 , \vec{s}_2 , \vec{s}_3) =(\vec{n}_1 , \vec{n}_2 ,
\v...
...{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{array} \right).
$

Skutečně platí např. $ \vec{s}_1=\frac{1}{2}(\vec{n}_1 - \vec{n}_2 +
\vec{n}_3)$.

Složky $ \vec{s}_i$ v bázi $ S$ jsou samozřejmě $ \vec{s}_1^T=(1,0,0)_S$, $ \vec{s}_2^T=(0,1,0)_S$, $ \vec{s}_3^T=(0,0,1)_S$.


3. Při určování souřadnic vektoru $ \vec{c}$ vůči bázi $ S$ bychom mohli postupovat přímo, tzn. mohli bychom řešit rovnici (pro neznámé $ d_1$, $ d_2$ , $ d_3$)

$\displaystyle c_1\vec{n}_1+c_2\vec{n}_2+c_3\vec{n}_3=d_1\vec{s}_1+d_1\vec{s}_2+d_1\vec{s}_3.
$

To je ale zbytečné. Uvědomíme si, ze vektor $ \vec{c}$ lze zapsat jako

$\displaystyle \vec{c}=c_1\vec{n}_1+c_2\vec{n}_2+c_3\vec{n}_3=
(\vec{n}_1 , \vec{n}_2 , \vec{n}_3)\big[(c_1,c_2,c_3)_N\big]^T\,,
$

a také si připomeneme nedávno odvozenou formulku

$\displaystyle \underbrace{(\vec{n}_1,\vec{n}_2,\vec{n}_3)}_{\mbox{báze }N}=
 \underbrace{(\vec{s}_1,\vec{s}_2,\vec{s}_3)}_{\mbox{báze }S} C\,.$ (20)

Kombinací těchto vzorců dostaneme

$\displaystyle \vec{c}=(\vec{s}_1 , \vec{s}_2 , \vec{s}_3)C\big[(c_1,c_2,c_3)_N\big]^T\,,
$

odkud je vidět, ze souřadnice vektoru $ \vec{c}$ vůči bázi $ S$ budou

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ d_3\end{array}\right)_S=C\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right)_N\,.$ (21)

Názorně vidíme, že matice přechodu $ C$, která lineárním kombinováním vyrábí z vektorů báze $ S$ vektory báze $ N$ (vektory psané do řádku, vztah 20), funguje při práci se složkami nějakého vektoru v opačném směru (složky psané do sloupce, vztah 21). Pro kontrolu si zkuste do (21) dosadit $ (c_1,c_2,c_3)^T=(1,0,0)^T$ (matici $ C$ viz ve vztahu 19) a ověřte, že dostaneme správný výsledek.


4. Maticí lineárního zobrazení $ T$ vzhledem k bázi $ S$ rozumíme matici, kterou je potřeba násobit sloupec složek libovolného vektoru $ \vec{s}$ vzhledem k této bázi, abychom dostali sloupec složek vektoru $ T\vec{s}$ (opět vzhledem k $ S$). Tuto definici je možné ještě rozšířit, když budeme chtít $ \vec{s}$ a $ T\vec{s}$ vyjadřovat v různých bázích.

Abychom zjistili jak bude vypadat matice zobrazení $ T$ vůči bázi $ S$, spočteme nejprve vektory $ T\vec{s}_1, \ T\vec{s}_2$ a $ T
\vec{s}_3$. Poté najdeme souřadnice těchto vektorů vůči bázi $ S$ stejným způsobem jako v předchozích bodech. Máme

$\displaystyle T\vec{s}_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle T\big( (1,0,1)\big)=(1,0,0)=-\vec{s}_2+\vec{s}_3=
(0,-1,1)_S\ $  
$\displaystyle T\vec{s}_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle T\big((0,1,0)\big)=(1,2,0)=\vec{s}_2+\vec{s}_3=
(0,1,1)_S$  
$\displaystyle T\vec{s}_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle T\big((1,1,0)\big)=(2,2,1)=\vec{s}_1+\vec{s}_2+\vec{s}_3=
(1,1,1)_S$  

Matice zobrazení je jakási tabulka $ M_S$. Povšimněme si, jak má tabulka $ M_S$ účinkovat na vektory $ \vec{s}_1=\big[(1,0,0)_S\big]^T$.

$\displaystyle M_S\left( \begin {array}{c} 1 \\ 0 \\ 0\end{array} \right)_S=\lef...
...array} \right)_S=\left( \begin {array}{c} 0 \\ 1 \\ 1\end{array} \right)_S, \
$

$\displaystyle M_S\left( \begin {array}{c} 0 \\ 0 \\ 1\end{array} \right)_S=\left( \begin {array}{c} 1 \\ 1 \\ 1\end{array} \right)_S
$

Nyní si stačí uvědomit, ze násobením matice vektorem, který má jedničku v $ i$-tém řádku a všude jinde nuly, dostaneme jako výsledek $ i$-tý sloupec matice. Nebo také lze uvedené tři rovnosti shrnout do jedné

$\displaystyle M_S\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1\end...
...gin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right).
$

Při hledání matice zobrazení $ T$ vůči bázi $ N$ bychom mohli postupovat obdobně. Ale protoze jiz máme tolik uzitečných mezivýsledků, byla by škoda, kdybychom je nevyuzili. Stačí řádně prostudovat následující schéma

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\mbox{báze } S & \mbox{zobrazení} & \mb...
...[4mm]
\mbox{báze } N && \mbox{báze } N \\ [2mm]
\end{array}
\end{displaymath}

Působení matice $ M_N$ (resp. zobrazení $ T$) lze také dostat takto: nejprve zkoumaný vektor $ \left(\cdot \right)_N$ (zadaný v bázi $ N$) převedeme do báze $ S$, k čemuz nám poslouzí matice $ C$. V bázi $ S$ jiz známe vyjádření zobrazení $ T$ pomocí matice $ M_S$. Najdeme obraz vektoru při působení matice $ M_S$. Tento výsledek vyjádříme v bázi $ N$, k čemuz nám poslouzí matice $ C^{-1}$. Výsledek bude stejný jako přímé působení matice $ M_N$. S vektorem $ \left(\cdot \right)_N$ byla celkem provedena složená operace $ C^{-1}M_SC$, a proto nemůze být jinak, nez ze

$\displaystyle M_N=C^{-1}M_SC\,.
$

Po dosazení konkrétních čísel máme

\begin{displaymath}
M_N=\frac{1}{2}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\ 
...
... -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -1
\end{array}
\right)=
\end{displaymath}

   to \begin{displaymath}\hfill\ds =
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{3}{2} & 1 & -\...
...\\ [1mm]
-\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}
\end{array}
\right)\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

$ \ast$VP$ \ast$