Soustava $ 4\times 4$ s parametrem

Úkol: Řešte soustavu vzhledem k parametru $ a\in${\bb R}

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{cccc}a&1&1&1\\...
...
\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}
\end{array}\right)
\end{displaymath}


Řešení: Můžeme gaussovsky eliminovat:

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{cccc}a&1&1&1\\...
...rray}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}
\end{array}\right)\hskip3cm
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\stackrel{\longrightarrow}{\begin{array}{c}(2)=(1)-(2)\cr (...
...kern-1mm}\cr \mbox{{\small kroku}}\cr (4)=(4)+(3)\end{array}}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{cccc}1&1&1&a\\...
...rray}{c}(2)=(2)/(a-1)\cr (3)=(3)/(a-1)\cr a\not=1\end{array}}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{cccc}1&1&1&a\\...
...
\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}
\end{array}\right)
\end{displaymath}

tedy pro $ a\in${\bb R}$ \setminus\{1,-3\}$ jde o soustavu nezávislých rovnic s jediným řešením $ x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(\frac{1}{a+3},\frac{1}{a+3},
\frac{1}{a+3},\frac{1}{a+3})$. Prohazování rovnic v prvním kroku nám ušetřilo více práce, než se může zdát: pokud bychom totiž použili během eliminace úpravu typu $ (2)=a\cdot (2)+\ldots $, museli bychom případ $ a=0$ diskutovat zvlášť (stejně jako to uděláme pro $ a=1$), neboť pro $ a=0$ není tato úprava ekvivalentní. V našem postupu se mohlo nejvýše stát, že jsme například přičetli ke čtvrté rovnici nulový násobek jiné rovnice, což je dovoleno.

Pro $ a=-3$ jsme dostali soustavu, která nemá řešení (poslední rovnici nelze splnit).

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{cccc}1&1&1&-3\...
...egin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}
\end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

Pro $ a=1$ jsou v soustavě čtyři shodné rovnice a hledáme proto v  {\bb R}$ ^4$ obecné řešení rovnice $ x_1+x_2+x_3+x_4=1$. Nejprve najdeme jedno partikulární řešení -- např. $ (1,0,0,0)$. Pak nalezneme v  {\bb R}$ ^4$ obecné řešení homogenní rovnice $ x_1+x_2+x_3+x_4=0$, tedy lineární kombinaci kterýchkoli tří lineárně nezávislých řešení homogenní rovnice (neboli kterékoli baze prostoru řešení rovnice, například $ (1,-1,0,0)$, $ (0,1,-1,0)$, $ (0,0,1,-1)$). Obecné řešení pro $ a=1$ je proto

$\displaystyle (1,0,0,0)+\alpha(1,-1,0,0)+\beta(0,1,-1,0)+\gamma(0,0,1,-1)\,,\
\alpha,\beta,\gamma\in${\bb R}$\displaystyle \,.
$

Speciálně tuto soustavu lze vyřešit i ,,upřeným pohledem'', když využijeme její symetrii (co máme na mysli ,,symetrií'' vysvětlíme za chvíli): nejprve budeme postupovat intuitivně. Čtyři rovnice soustavy nečiní rozdílu mezi neznámými $ x_1,\ldots,x_4$, a tedy by mělo platit $ x_1=x_2=x_3=x_4=x$. Dosazením do libovolné z rovnic máme $ 3x+ax=1$, tedy $ x=1/(a+3)$ pro $ a\not=-3$. Všimněte si, že pro $ a=1$ jsme nezjistili žádné význačné chování.

Nyní upřesníme, co máme na mysli symetrií soustavy: pokud v celé soustavě libovolně zaměníme proměnné $ x_1,\ldots,x_4$, dostaneme opět původní soustavu. Například, píšeme-li všude $ x_2$ místo $ x_3$ a naopak, stane se z druhé rovnice třetí, ze třetí rovnice druhá a první a čtvrtá rovnice se nezmění. Celkem jsme ale dostali zase původní soustavu. Z toho plyne, že pokud je řešením $ (x_1,x_2,x_3,x_4)$, pak i například $ (x_1,x_3,x_2,x_4)$ musí být řešením. Tuto úvahu lze zopakovat pro libovolnou dvojici proměnných, takže pokud má mít soustava jediné řešení, pak z toho plyne, že $ x_1=x_2=x_3=x_4$ (k tomu ale samozřejmě potřebujeme invarianci vůči libovolné záměně proměnných). Pokud má soustava řešení více, pak takto nalezneme jen jediné z nich.

Předchozí dva odstavce lze shrnout i jinak: pokud všechny čtyři rovnice sečteme a dělíme $ (a+3)$, dostaneme $ x_1+x_2+x_3+x_4=4/(a+3)$. Pokud tuto rovnici odečteme postupně od první až čtvrté rovnice dostaneme $ (a-1)x_i=1-4/(a+3)$ pro $ i=1,2,3,4$, což dává náš výsledek. Tentokrát vidíme také, že pro $ a=1$ nastává význačný případ, ale museli jsme zase na oplátku trochu počítat.

$ \ast$PK,KV$ \ast$