Vektory se sudým počtem jedniček

Úkol: Nechť $ P$ je $ (n-1)$-dimenzionální podprostor {\bb Z}$ _2^n$. Nechť se libovolné dva různé vektory $ \vec{x},\vec{y}\in P$ liší alespoň ve dvou souřadnicích. Potom je $ P$ tvořen právě všemi vektory obsahujícími sudý počet nenulových složek.


Řešení: Uvažujme matici $ A$, jejíž $ n-1$ řádků je tvořeno bází podprostoru $ P$. Hodnost této matice je $ n-1$, a tedy dimenze obrazu zobrazení odpovídajícího této matici je $ n-1$. Dimenze jádra tohoto zobrazení je dle věty o dimenzi jádra a obrazu jedna, a tedy jádro obsahuje právě jeden (pracujeme nad {\bb Z}$ _2$) nenulový vektor -- označme ho $ \vec{w}$. Dále označme $ B$ matici, která obsahuje jediný řádek a tím je vektor $ \vec{w}$. Jádro zobrazení odpovídajícího této matici má dimenzi $ n-1$ a je nadmnožinou podprostoru $ P$ -- kterýkoliv řádek $ A$ násobený složkově ( $ \sum_i x_iy_i$) s $ \vec{w}$ dá nulu. Potom toto jádro je ale právě podprostorem $ P$. Kdyby $ \vec{w}$ měl nějakou nulovou složku (řekněme $ i$-tou), potom by vektor $ \vec{e}_i$ (samé nuly, jednička na $ i$-tém místě) náležel do podprostoru $ P$ a od nulového vektoru, který v tomto podprostoru také leží, by se lišil v jediné složce. Tedy musí platit $ \vec{w}=(1,\ldots,1)$. Z předchozích úvah plyne, že jádro $ B=\vec{w}^T$ je právě $ P$, a tedy $ P$ obsahuje právě ty vektory, jejichž počet nenulových složek je sudý (stále pracujeme nad {\bb Z}$ _2$).

$ \ast$DK$ \ast$