Bernštejnovy polynomy

Úkol: Dokažte, že polynomy $ P_k(x)=x^k(1-x)^{n-k},\ k=0,\dots,n$ tvoří bázi na prostoru reálných polynomů stupně nejvýše $ n$.


Řešení: Postup je celkem přímočarý. Vzhledem k tomu, že dimenze uvažovaného prostoru je $ n+1$, stačí zřejmě dokázat, že polynomy $ P_k$ jsou lineárně nezávislé. Předpokládejme tedy, že nějaká jejich lineární kombinace je identicky nulová:

$\displaystyle a_0(1-x)^n+a_1x(1-x)^{n-1}+\dots+a_{n-1}x^{n-1}(1-x)+a_nx^n=0,$ (24)

kde $ a_0,\dots,a_n$ jsou libovolná (reálná) čísla. Dosazením $ x=1$ do (24) dostaneme okamžitě $ a_n=0$. Teď rovnost (24) zderivujeme podle $ x$, přičemž použijeme tvrzení, že při derivování se násobnost všech kořenů polynomu sníží o $ 1$ (nepopíráme ale, že při derivování mohou vzniknout kořeny nové). Postupujeme tedy indukcí tak, že vždy zderivujeme a dosadíme $ x=1$, čímž postupně anulujeme $ a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_0$.

Na Bernštejnovy polynomy narazíme například v důkazu Weierstrassovy věty, která říká, že každou funkci $ f$ spojitou na uzavřeném intervalu $ \langle a,b\rangle$ lze s libovolnou přesností aproximovat polynomem ve smyslu ,,pro každé $ \varepsilon >0$ existuje polynom $ P(x)$ takový, že $ \vert f(x)-P(x)\vert<\varepsilon $ pro všechna $ x\in\langle a,b\rangle$''. Pokud si tuto větu budete chtít dokázat sami, zkuste vzít posloupnost polynomů

$\displaystyle B_n(x)=\sum_{k=0}^n\left({n\atop k}\right)x^k(1-x)^{n-k}f\left({k\over n}\right)$ (25)

a dokázat, že na intervalu $ \langle0,1\rangle$ konverguje stejnoměrně k funkci $ f(x)$ (přechod od obecného případu k intervalu $ \langle0,1\rangle$ přeškálováním je jednoduchý).

Vyjádření (25) má jednoduchou statistickou interpretaci. Známe-li hodnoty funkce $ f(x)$ jenom v bodech $ k/n$, kde $ k=0,\dots,n$, můžeme její hodnotu v libovolném bodě přibližně spočítat jako vážený průměr známých hodnot. Formule (25) nám pak říká, že váhu hodnoty $ f(k/n)$ máme vzít jako pravděpodobnost, že při $ n$ hodech mincí padne $ k$-krát hlava, přičemž $ x$ je pravděpodobnost padnutí hlavy při jediném hodu. To, že posloupnost (25) konverguje k funkci $ f(x)$, je pak jen ukázkou platnosti známé centrální limitní věty.

$ \ast$TB$ \ast$