Ortogonální doplněk

Úkol: Nalezněte ortonormální bázi ortogonálního doplňku $ V=${\Cal L}$ (\{(1,0,2,1),\allowbreak (2,1,2,3),(0,1,-2,1)\})$, je-li skalární součin $ \langle \vec{x},\vec{y}\rangle=\sum_{i=1}^n x_i y_i$.


Řešení: Nejdřív zjistíme dimenzi prostoru $ V$.

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc}
1& 0 &2 &1\cr
2& 1 &2 &3\cr...
...} 1 & 0 & 2 & 1 \cr
0 & 1 & -2 & 1 \cr
0 & 1 & -2 & 1 \cr\end{array}\right)
$

Tady už vidíme, že jeden z vektorů je lineárně závislý. A jelikož zjevně všechny tři vektory nejsou násobkem jediného vektoru, musí být dimenze $ V$ rovna dvěma. Za bázové vektory $ V$ si můžeme zvolit například první dva řádky z matice vpravo (označíme je $ \vec{v}_1$, $ \vec{v}_2$).

Hledání ortogonálního doplňku k $ V$ provedeme nyní následovně. Vektory $ \vec{v}_1,\vec{v}_2$ doplníme (libovolným způsobem) na bázi v  {\bb R}$ ^4$; zbylé dva vektory označme $ \vec{v}_3,\vec{v}_4$. Pak provedeme Grammovu-Schmidtovu ortogonalizaci a získáme vektory $ \vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3,\vec{w}_4$. Přitom ale $ \vec{w}_1,\vec{w}_2$ generují $ V$ a $ \vec{w}_3,\vec{w}_4$ jsou na oba tyto vektory kolmé. Lineární obal $ \vec{w}_3,\vec{w}_4$ je tedy kolmý na $ V$, a je tudíž roven $ V^\perp$.

Vektory $ \vec{v}_3$, $ \vec{v}_4$ zvolíme tak, aby matice, v níž budou $ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4$ jako řádky, byla v horním trojúhelníkovém tvaru. Tím bude hned na začátku jasné, že jsou tyto vektory lineárně nezávislé, a tedy že tvoří bázi {\bb R}$ ^4$.

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} \vec{v}_1\cr\vec{v}_2\cr\vec{v...
...
0 & 1 & -2 & 1 \cr
0 & 0 & 1 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 1\cr\end{array}\right)\,.
$

Za první bázový prvek si zvolíme vektor $ \vec{w}_1=\vec{v}_1$. Pro druhý musí platit: $ \langle \vec{w}_1,\vec{w}_2\rangle=0$ (musí být kolmý na první vektor) a zároveň $ \vec{w}_2=\vec{v}_2+k\vec{w}_1$ (leží v rovině vektorů $ \vec{v}_2,\ \vec{v}_1=\vec{w}_1$).

$\displaystyle 0=\langle \vec{w}_1, \vec{v}_2+k\vec{w}_1\rangle=\langle
\vec{w}_1,\vec{v}_2\rangle+k\langle \vec{w}_1,\vec{w}_1\rangle=-3+6k\
\Rightarrow
$

$\displaystyle \hspace{4cm}\Rightarrow \ k={1\over2}\ \Rightarrow\ \vec{w}_2={1\over2}(1,2,-2,3)\,.
$

Abychom si zjednodušili počítání a vyhnuli se zlomkům, můžeme tento vektor nahradit jeho dvojnásobkem. Kolmost $ \vec{w}_1$ a $ \vec{w}_2$ ani jejich lineární obal tím samozřejmě nezměníme. Volíme tedy $ \vec{w}_2=(1,2,-2,3)$.

Podobně postupujeme pro třetí a čtvrtý vektor, tady už však musí být splněná kolmost na všechny předešlé vektory. Hledáme $ \vec{w}_3$ ve tvaru $ \vec{w}_3=\vec{v}_3+k\vec{w}_1+l\vec{w}_2$, při úpravách využíváme $ \langle \vec{w}_1,\vec{w}_2\rangle=0$.

$\displaystyle 0=\langle \vec{w}_3,\vec{w}_1\rangle=\langle \vec{v}_3,\vec{w}_1\...
..._1\rangle+l\langle \vec{w}_2,\vec{w}_1\rangle=2+6k\ \Rightarrow\ k=-{1\over3}
$

$\displaystyle 0=\langle \vec{w}_3,\vec{w}_2\rangle=\langle
\vec{v}_3,\vec{w}_2...
...rangle+l\langle
\vec{w}_2,\vec{w}_2\rangle=-2+18l\ \Rightarrow\ l={1\over 9}
$

$\displaystyle \Rightarrow\ \vec{w}_3={1\over9}(-2,2,1,0)\ \rightarrow\
\vec{w}_3=(-2,2,1,0)\,.
$

Poslední krok jsme opět udělali jen pro naše pohodlí při počítání. Nakonec se ještě vypořádáme s  $ \vec{w}_4=\vec{v}_4+k\vec{w}_1+
l\vec{w}_2+m\vec{w}_3$

$\displaystyle 0=\langle \vec{w}_4,\vec{w}_1\rangle=\langle
\vec{v}_4,\vec{w}_1...
...le+l\langle
\vec{w}_2,\vec{w}_1\rangle+m\langle
\vec{w}_3,\vec{w}_1\rangle=
$

$\displaystyle \hspace{5cm}=1+6k+0l+0m\ \Rightarrow\ k=-\frac{1}{6}
$

$\displaystyle 0=\langle \vec{w}_4,\vec{w}_2\rangle=\langle
\vec{v}_4,\vec{w}_2...
...angle+l\langle
\vec{w}_2,\vec{w}_2\rangle+m\langle \vec{w}_3,\vec{w}_2\rangle=$

$\displaystyle \hspace{5cm}=3+0k+18l+0m\ \Rightarrow\ l=-{1\over6}
$

$\displaystyle 0=\langle \vec{w}_4,\vec{w}_3\rangle=\langle
\vec{v}_4,\vec{w}_3...
...angle+l\langle
\vec{w}_2,\vec{w}_3\rangle+m\langle \vec{w}_3,\vec{w}_3\rangle=$

$\displaystyle \hspace{5cm}=0+0k+0l+9m\ \Rightarrow\ m=0
$

$\displaystyle \Rightarrow\ \vec{w}_4={1\over 3}(-1,-1,0,1)\ \rightarrow\
\vec{w}_4=(-1,-1,0,1)\,.
$

Vektory $ \vec{w}_3$, $ \vec{w}_4$ na závěr dělíme jejich normami a podáváme je podle chuti s okurkovým salátem

$\displaystyle \vec{w}_3=\frac{1}{3}(-2,2,1,0)\,,\qquad \vec{w}_4=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,0,1)\,.
$

Na závěr doplňme, že úlohu lze vyřešit také rychleji. Hledáme prostor řešení soustavy

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 
 1& 0 &2 &1\cr
 2& 1 &2 &3\cr...
...ght)=
 \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0\cr 0\cr 0\cr 0\end{array}\right)\,.$ (26)

Každá z těchto tří rovnic vyjadřuje podmínku, že vektor $ \vec{x}$ má být kolmý na jeden z vektorů, pomocí nichž jsme definovali $ V$. Bázi tohoto prostoru pak ortonormalizujeme například výše uvedeným postupem.

Pokud bychom potřebovali pracovat s nějakým obecným skalárním součinem $ \langle \vec{x}, \vec{y}\rangle
=\sum_{i,j} A^{ij}x_iy_j$, stačí ve vztahu 26 vsunout mezi matice na levé straně čtvercovou matici $ A =(A^{ij})$. Tato matice (též Grammova matice) je ale pro náš skalární součin rovna $ \mathbbm{1}$.

$ \ast$MB,ZV$ \ast$