Grammova-Schmidtova ortogonalizace

Úkol: a) Uvažujme množinu vektorů

$\displaystyle \left\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \right\} =\left \{ \left(...
...ray} \right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \right \}
$

Proveďte s tímto souborem vektorů Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces, tzn. najděte takové vektory $ \left\{ \vec{w}_1,
\vec{w}_2, \vec{w}_3 \right\}$, pro které platí

nebo ještě jinak: máme nalézt takový systém vektorů $ \left\{
\vec{w}_1,\allowbreak \vec{w}_2,\allowbreak \vec{w}_3 \right\}$, které mají jednotkovou velikost, jsou navzájem kolmé a každý z vektorů $ \vec{v}_i$ lze zapsat jako lineární kombinaci vektorů $ \vec{w}_j$.


b) Poté co se oprostíte od zápisu vektorů se šipkami a výhradního užívání skalárního součinu ,, $ \cdot$ '', proveďte totéž pro vektory (položte si otázku: Z jakého vektorového prostoru?)

$\displaystyle \left\{ f_1,f_2,f_3\right\}=\left\{1,x,x^2 \right\},
$

se skalárním součinem zadaným předpisem

$\displaystyle b(f,g)\df= \int _{-1} ^1 f(x)g(x)\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x\,,
$

norma v tomto prostoru je přirozeně $ \Vert h \Vert= \sqrt{ b(h,h)}$.


Řešení: Před vlastním výpočtem by bylo vhodné zjistit, zda jsou zadané vektory lineárně nezávislé. Letmým pohledem se ujistíme, že tomu tak skutečně je. Nyní se budeme věnovat vlastní ortogonalizaci.

Za první vektor ze souboru $ {\vec{w}_i}$ vezmeme jednoduše správně normovaný vektor $ \vec{v}_1$, připomeňme si, že požadujeme, aby velikost vektorů $ {\vec{w}_i}$ byla rovná jedné. Tedy

$\displaystyle \vec{w}_1= \frac{\vec{v}_1}{\Vert \vec{v}_1 \Vert}= \left( \begin{array}{c}
1/\sqrt 2 \\ 1/\sqrt 2 \\ 0 \end{array}\right).
$

Za druhý vektor zvolíme (podívejte se na obrázek 8, vlevo)

$\displaystyle \vec{w}_2= \frac{\vec{v}_2 - \vec{w}_1 \left( \vec{w}_1 \cdot \ve...
...t} =\frac{1}{\sqrt 3}\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right).
$

Takto zvolený vektor má skutečně jednotkovou velikost (o tom se snad nedá pochybovat) a navíc je $ \vec{w}_1 \cdot
\vec{w}_2 =0$, což ověříme jednoduše tak, že oba vektory vynásobíme

$\displaystyle \vec{w}_1 \cdot \vec{w}_2 = \frac{\vec{w}_1 \cdot \vec{v}_2 - \le...
...t \vec{v}_2 -
\vec{w}_1 \left( \vec{w}_1 \cdot \vec{v}_2 \right) \Vert}=0\,,
$

geometrická interpretace vektoru $ \vec{w}_2$ je patrná z obrázku. Vektor $ \vec{v}_2$ jsme si představili jako součet vektoru $ \vec{v}_{2,\perp}$, který je kolmý na vektor $ \vec{w}_1$, a vektoru $ \vec{v}_{2,\parallel}$, který je rovnoběžný s vektorem $ \vec{w}_1$. Evidentně pak je $ \vec{v}_{2,\perp}= \vec{v}_2 -
\vec{v}_{2,\parallel} = \vec{v}_2 - \vec{w}_1\...
...os \phi \right) = \vec{v}_2 - \vec{w}_1\left(\vec{w}_1 \cdot
\vec{v}_2 \right)$. Stačí proto zvolit $ \vec{w}_2=
\vec{v}_{2,\perp}/ \Vert\vec{v}_{2,\perp} \Vert$, čímž jsme ospravedlnili volbu vektoru $ \vec{w}_2$. Pro dosažení naprosté dokonalosti bychom měli ověřit, že jsme při dělení normou $ \Vert \vec{v}_2 - \vec{w}_1
\left( \vec{w}_1 \cdot \vec{v}_2 \right) \Vert$ nedělili nulou: stačí si ale vzpomenout, že u vektorů $ \vec{v}_1$ a $ \vec{v}_2$ předpokládáme lineární nezávislost. Srovnejte tyto úvahy s příkladem 6.3 o ortogonálních projekcích.
Obrázek: Princip Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace. Z $ n$-tého vektoru ponecháme pouze složku kolmou na rovinu (lineární obal) prvních $ n-1$ vektorů.
=1mm \includegraphics[scale=0.7]{OBRAZKY/ortog.eps} (-17,32)$ \vec{v}_2$ (-21,4)$ \vec{w}_1$ (-27.5,8)$ \phi$ (-50,13) $ \vec{v}_{2,\perp}$ (-10,10) $ \vec{v}_{2,\vert\vert}$ $ \qquad$ \begin{center}\vbox{\input{OBRAZKY/ortog1.tex}
}\end{center}

Třetí vektor zvolíme podle obdobné logiky (viz obrázek 8 vpravo)

$\displaystyle \vec{w}_3= \frac{\vec{v}_3 - \vec{w}_2 \left( \vec{w}_2 \cdot \ve...
...{\sqrt 6}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} -1\cr 1\cr 2\end{array}\right)\,.
$

Zde se již nebudeme pouštět do obsáhlého popisu tohoto kroku, který by čtenář jistě dokázal provést sám. Hledaný soubor vektorů je

$\displaystyle \left\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \vec{w}_3 \right\} = \left \{
\fra...
...}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} -1\cr 1\cr 2\end{array}\right)\right\}\,.
$

Jelikož je $ V$ rovno {\bb R}$ ^3$, získali jsme tímto způsobem jednu z nekonečně mnoha ortonormálních bází v  {\bb R}$ ^3$.

Zaměřme se na zobecnění tohoto postupu pro větší počet vektorů. Gramm-Schmidtovu ortogonalizační proceduru shrneme takto: chceme-li z vektorů $ \left \{\vec{v}_1, \dots,\vec{v}_n
\right\}$ vytvořit ortonormální soustavu vektorů $ \left \{\vec{w}_1, \dots,
\vec{w}_n \right\}$ vůči skalárnímu součinu $ b(\cdot,\cdot)$, postupujeme podle receptu

$\displaystyle \vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1 \Vert}\,,\quad \ldots...
... \sum \limits _{j=1}^{i-1}\vec{w}_j
b(\vec{w}_j,\vec{v}_i) \Vert}\,,\ \ldots
$

Pokud netrváme na normalizaci vektorů $ \vec{w}_i$ (tu lze vždy provést až nakonec), lze tyto vzorce napsat jako

$\displaystyle \vec{w}_i=\vec{v}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{b(\vec{w}_j,\vec{v}_i)}{\Vert\vec{w}_j\Vert^2}\vec{w}_j\,,\quad j=1,\ldots,n\,.
$

Tyto vzorce také přesně vystihují proceduru popsanou na obrázku 8.


b) Nyní aplikujeme tento přístup na druhou část zadání, tj. na vektory $ \left\{ f_1,f_2,f_3\right\}=\left\{1,x,x^2\right\}$. Při výpočtu budeme potřebovat znát pouze skalární součin mezi bázovými vektory $ \left\{1,x,x^2\right\}$

$\displaystyle b(x^i,x^j)=\int_{-1}^1x^{i+j}\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x=\left\...
... 2/(i+j+1)\mbox{ pro }i+j\mbox{ sudé,}\\
0 \mbox{ jinak,}\end{array}\right.
$

speciálně $ \Vert x^k\Vert=\sqrt{b(x^k,x^k)}=1/\sqrt{k+\frac{1}{2}}$.

=2pt

$\displaystyle g_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f_1}{\Vert f_1 \Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}}$  
$\displaystyle g_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f_2 -g_1 b(g_1,f_2)}{ \Vert f_2 -g_1 b(g_1,f_2) \Vert}=
\fr...
...{\Vert x - \frac{1}{2}b(1,x)\Vert}=
\frac{x}{\Vert x\Vert}=x \sqrt{\frac{3}{2}}$  
$\displaystyle g_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f_3-g_2b(g_2,f_3)-g_1b(g_1,f_3)}{\Vert f_3-g_2b(g_2,f_3)-g_1b(g_1,f_3)
\Vert}=$  

   to $ \ds =\frac{x^2-\frac{3}{2}xb(x,x^2)-\frac{1}{2}b(1,x^2)}
{\Vert x^2- \frac{3}...
...=
\frac{x^2 - \frac{1}{3}} {\sqrt{b(x^2 - \frac{1}{3},x^2-\frac{1}{3})}}\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =
\frac{x^2 - \frac{1}{3}}{\sqrt{b(x^2,x^2)-2b(x^2,\frac{1}{3})+
b(\frac{1}{3},\frac{1}{3})}} = \sqrt{\frac{5}{8}}
\left(3x^2 -1\right)\,,$$\displaystyle \hss
$

čímž jsme dostali první tři Legendreovy polynomy. Obvykle se však Legendreovy polynomy uvádějí v jiném tvaru, ve kterém nejsou normovány na jedničku v norme ale ve vedoucím koeficientu.

$ \ast$VP$ \ast$