Ortogonální doplněk jednoho řádkového prostoru

Úkol: Nechť $ A$ je podprostor generovaný řádky matice $ \left(I_k\vert P\right)$ typu $ k\times n$, kde $ I_k$ je jednotková matice řádu $ k$ a $ P$ je libovolná matice typu $ k\times (n-k)$. Dokažte, že ortogonální doplněk podprostoru $ A$ je podprostor generovaný řádky matice $ B=\left(-P^T\vert I_{n-k}\right)$ typu $ (n-k)\times n$. Za skalární součin bereme složkový součin $ \vec{x}\cdot \vec{y}=\sum_i x_iy_i$


Řešení: Hodnost matice $ A$ je $ k$ (svědčí jejích prvních $ k$ sloupců) a hodnost matice $ B$ je $ n-k$ (svědčí jejích posledních $ n-k$ sloupců). Pokud ukážeme, že $ A$ leží v ortogonálním doplňku $ B$, budeme vědět (podle věty o dimenzi ortogonálního doplňku), že $ A$ je právě ortogonální doplněk $ B$. Stačí tedy ukázat, že řádky matice $ A$ jsou kolmé na řádky matice $ B$, neboli $ AB^T$ je nulová matice. Násobení $ AB^T$ lze provést názorně, pokud $ A$ chápeme jako řádkový vektor o dvou složkách $ I_k, P$ a podobně $ B^T$ jako sloupcový vektor (rozmyslete si, že takto skutečně dostaneme správný výsledek).

$\displaystyle AB^T=\left(I_k,P\right)
{-P\choose I_{n-k}}=-I_k P+PI_{n-k}=0\,.$

Tím je důkaz tvrzení příkladu hotov.

$ \ast$DK$ \ast$