Různé normy v  {\bb R}$ ^n$

Úkol: Ověřte u následujících zobrazení {\bb R}$ ^n\to \langle 0;\infty)$, že to jsou normy v  {\bb R}$ ^n$:

a)
$ \vert\vec{x}\vert _{\infty}=\max\limits_{i}\vert x_i\vert$ (maximová, kubická norma)
b)
$ \vert\vec{x}\vert _{1}=\sum\limits_{i} \vert x_i\vert$ (manhattanská, oktaedrická norma)
c)
$ \vert\vec{x}\vert _{2}=\sqrt{\sum\limits_{i} \vert x_i\vert^2}$ (euklidovská, kulová norma)
Které z těchto norem mohou být generovány skalárním součinem?

Obrázek: Jednotková kružnice v  {\bb R}$ ^2$ při různých normách.
=0.62mm \includegraphics[scale=0.43]{OBRAZKY/normy.eps} (-110,12.5)$ x_1$ (-131.5,35)$ x_2$ (-115,12)1 (-129,28)1 (-129,12)0 (-120,30) $ \vert\vec{x}\vert{\raise-4pt\hbox{$\scriptstyle 1$}}=1$ (-56,12.5)$ x_1$ (-78,35)$ x_2$ (-61,12)1 (-76,29)1 (-76,12)0 (-66,30) $ \vert\vec{x}\vert{\raise-4pt\hbox{$\scriptstyle 2$}}=1$ (-2,12.5)$ x_1$ (-25,35)$ x_2$ (-7,12)1 (-22.5,29)1 (-22.5,12)0 (-14,32) $ \vert\vec{x}\vert{\raise-4pt\hbox{$\scriptstyle \infty$}}=1$


Řešení: Linearita a nulovost právě pro nulový vektor jsou u všech uvedených norem zřejmé. Zbývá tedy ověřit trojúhelníkovou nerovnost pro libovolné dva vektory $ \vec{x}$ a $ \vec{y}$:


a) $ \vert\vec{x}+\vec{y}\vert _{\infty}=\max\limits_{i}\vert x_i+y_i\vert\le
\max...
...its_{i}\vert y_i\vert=
\vert\vec{x}\vert _{\infty}+\vert\vec{y}\vert _{\infty}$


b) $ \vert\vec{x}+\vec{y}\vert _{1}=\sum\limits_{i}\vert x_i+y_i\vert\le
\sum\limi...
...rt x_i\vert+\sum\limits_{i}\vert y_i\vert=
\vert x\vert _{1}+\vert y\vert _{1}$


c) Dokážeme trojúhelníkovou nerovnost umocněnou na druhou. Použijeme přitom Schwarzovu či Cauchyovu) nerovnost, kterou dokážeme za chvíli.

$\displaystyle \big(\vert\vec{x}+\vec{y}\vert _{2}\big)^2=
\sum\limits_{i}\vert...
..._i\vert^2+\vert y_i\vert^2+2\vert x_i\vert\vert y_i\vert)
\stackrel{\ast}{\le}$

$\displaystyle \le\sum\limits_{i}(\vert x_i\vert^2+\vert y_i\vert^2)+
2\sqrt{\ts(\sum\nolimits_{i}\vert x_i\vert^2)(\sum\nolimits_{i}\vert y_i\vert^2)}=$

$\displaystyle \hspace{2cm}=\left(\sqrt{\ts\sum\nolimits_{i}\vert x_i\vert^2}+
...
...t^2}\right)^2=
\left(\vert\vec{x}\vert _{2}+\vert\vec{y}\vert _{2}\right)^2\,.$

Ověřili jsme tedy, že i euklidovská norma splňuje trojúhelníkovou nerovnost, a podíváme se ještě na Schwarzovu nerovnost.
$\displaystyle \sum_{i} 2\vert x_i\vert\vert y_i\vert$ $\displaystyle \stackrel{\ast}{\le}$ $\displaystyle 2\sqrt{(\ts\sum\nolimits_{i}\vert x_i\vert^2)(\sum\nolimits_{i}\vert y_i\vert^2)}$  
$\displaystyle \big(\ts\sum_{i} \vert x_i\vert\vert y_i\vert\big)^2$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle (\ts \sum_{i}\vert x_i\vert^2)(\sum_{i}\vert y_i\vert^2)$  


$\displaystyle \sum\limits_{i,j} \vert x_i\vert\vert x_j\vert\vert y_i\vert\vert y_j\vert$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \sum\limits_{i,j} \vert x_i\vert^2 \vert y_j\vert^2$  
$\displaystyle \sum\limits_{i\not=j} \vert x_i\vert\vert x_j\vert\vert y_i\vert\vert y_j\vert$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \sum\limits_{i\not=j} \vert x_i\vert^2 \vert y_j\vert^2$  
0 $\displaystyle \le$ $\displaystyle \sum\limits_{i<j} (\vert x_i\vert^2 \vert y_j\vert^2+\vert x_j\vert^2 \vert y_i\vert^2-
2\vert x_i\vert\vert x_j\vert\vert y_i\vert\vert y_j\vert)$  
0 $\displaystyle \le$ $\displaystyle \sum\limits_{i<j} (\vert x_i\vert\vert y_j\vert-\vert x_j\vert\vert y_i\vert)^2\,.$  


Nyní se obrátíme k otázce, zda pro uvedené normy existuje skalání součin, který je generuje. Euklidovská norma je generována skalárním součinem

$\displaystyle \langle \vec{x}\vert \vec{y}\rangle_2=\sum\nolimits_{i} x_i y_i\,,$   tedy $\displaystyle \ \vert\vec{x}\vert _2=\sqrt{\langle\vec{x}\vert\vec{y}\rangle_2}\,.$

Ostatní dvě normy pro $ n\ge 2$ (pro $ n=1$ splývají s euklidovskou normou) nesplňují rovnoběžníkovou rovnost

$\displaystyle \vert\vec{x}+\vec{y}\vert^2+\vert\vec{x}-\vec{y}\vert^2=2\vert\vec{x}\vert^2+2\vert\vec{y}\vert^2\,,
$

a tedy nemohou být generovány skalárním součinem. Tato rovnost je nutnou podmínkou pro to, aby bylo možné napsat $ \vert\vec{x}\vert^2=\langle
\vec{x}\vert\vec{x}\rangle$: pokud totiž takový skalární součin existuje, lze levou stranu rovnoběžníkové rovnosti rozepsat díky linearitě ( $ \langle \vec{x}+\vec{y}\vert\vec{x}+\vec{y}\rangle =
\langle \vec{x}\vert\vec...
...\rangle+
\langle \vec{y}\vert\vec{x}\rangle+\langle \vec{y}\vert\vec{y}\rangle$) a celá rovnost je pak triviální identita.

Příslušné protipříklady pro normy $ \vert\cdot\vert _1, \vert\cdot\vert _\infty$ jsou následující:

a)
$ \vec{x}=(0,1,0,\ldots,0)$ a $ \vec{y}=(1,0,0,\ldots,0)$; pak je $ \vert\vec{x}+\vec{y}\vert _{\infty}=\vert\vec{x}-\vec{y}\vert _{\infty}=
\vert\vec{x}\vert _{\infty}=\vert\vec{y}\vert _{\infty}=1$.
b)
Zvolíme vektory $ \vec{x},\vec{y}$ stejně jako v předchozím případě a dostaneme $ \vert\vec{x}+\vec{y}\vert _{1}=\vert\vec{x}-\vec{y}\vert _{1}=2$ a $ \vert\vec{x}\vert _{1}=\vert\vec{y}\vert _{1}=1$.

$ \ast$DK$ \ast$