Normy pro matice

Úkol: Ověřte u následujících zobrazení, že jsou to normy na prostoru matic $ n\times n$ s komplexními koeficienty.

a)
$ \vert A\vert _{\rm row}=\max\limits_{i}\sum\limits_{j}\vert A_{ij}\vert$
b)
$ \vert A\vert _{\rm col}=\max\limits_{j}\sum\limits_{i}\vert A_{ij}\vert$
c)
$ \vert A\vert _{\rm spc}=\max\limits_{i}\sqrt{\lambda_i}$, kde $ \lambda_i$ jsou vlastní čísla matice16 $ A^{\dag }A$
d)
$ \vert A\vert _{\rm Sch}=\sqrt{\sum\nolimits_{i,j}\vert A_{ij}\vert^2}$ (Schwarzova norma)
U prvních tří norem navíc dokažte, že platí $ \vert AB\vert\le\vert A\vert\vert B\vert$.


Řešení: Linearita všech norem je zřejmá, stejně tak jejich nulovost právě pro nulovou matici. Zbývá tedy ověřit trojúhelníkovou nerovnost pro libovolné dvě matice $ A$ a $ B$:


a) $ \vert A+B\vert _{\rm row}=
\max\limits_{i}\sum\limits_{j}\vert A_{ij}+B_{ij}\...
...limits_{j}\vert B_{ij}\vert\le
\vert A\vert _{\rm row}+\vert B\vert _{\rm row}$


b) Zde lze provést důkaz stejně jako v předchozím bodě. Lze ale také využít následující trik: $ \vert A+B\vert _{\rm col}=\big\vert\big(A^T+B^T\big)^T\big\vert _{\rm col}
=\...
...+\vert B^T\vert _{\rm row}
=\vert A\vert _{\rm col}+\vert B\vert _{\rm col}\,.$


c) Vlastní čísla matice $ A^\dag A$ jsou nezáporná (a samozřejmě reálná), neboť pro $ A^\dag A\vec{v}=\lambda \vec{v}$ platí

$\displaystyle \lambda (\vert\vec{v}\vert _2)^2=\lambda \sum_i \overline{v_i}v_i...
...ec{v}^\dag A^\dag A\vec{v}=
 (\vert A\vec{v}\vert _2)^2\in \langle 0;\infty)\,.$ (27)

Nechť $ \vec{w}$ je libovolný vlastní vektor odpovídající největšímu vlastnímu číslu matice $ (A+B)^\dag (A+B)$ a $ \vert\cdot\vert _2$ je euklidovská norma (viz příklad 5.4). Potom platí (u druhé nerovnosti používáme výsledky příkladu 5.6)

$\displaystyle \vert A+B\vert _{\rm spc}\vert\vec{w}\vert _2=\vert(A+B)\vec{w}\v...
... _2\le(\vert A\vert _{\rm spc}+\vert B\vert _{\rm spc})\vert\vec{w}\vert _2\,. $


d) Pro důkaz této trojúhelníkové nerovnosti si stačí matice $ A$ a $ B$ představit jako $ n^2$-složkové vektory $ \vec{a}$ a $ \vec{b}$, definované jako $ a_{(i-1)n+j}=A_{ij}$ a $ b_{(i-1)n+j}=B_{ij}$. Potom $ \vert A\vert _{\rm Sch}=\vert\vec{a}\vert _2$ (viz příklad 5.4), pro $ B$ a $ A+B$ analogicky a tedy tato trojúhelníková nerovnost (díky výsledkům uvedeného příkladu) platí.


Pro první tři normy jsme měli navíc dokázat další nerovnost. Opět použijeme výsledků příkladu 5.6 a získáváme

$\displaystyle \vert AB\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ds\sup_{\vec{x}}\frac{\vert AB\vec{x}\vert}{\vert\vec{x}\vert}=
...
...{x}\vert}{\vert B\vec{x}\vert}
\frac{\vert B\vec{x}\vert}{\vert\vec{x}\vert}\le$  
  $\displaystyle \le$ $\displaystyle \ds\sup_{\vec{x}}\frac{\vert A\vec{x}\vert}{\vert\vec{x}\vert}
\s...
...ec{x}}\frac{\vert B\vec{x}\vert}{\vert\vec{x}\vert}=\vert A\vert\vert B\vert\,.$  

Za maticovou a vektorovou normu je potřeba si dosadit vždy vhodnou dvojici (viz příklad 5.6). V případě, že $ B\vec{x}$ je nulový vektor pro všechny vektory $ \vec{x}$, musí být nutně $ \vert B\vert=0$ i $ \vert AB\vert=0$ a tvrzení příkladu je triviální.

$ \ast$DK$ \ast$