Jak daleko jsou vektory od matic, aneb Hrušky s jabkama

Úkol: Dokažte, v označení příkladů 5.4, 5.5 platí

a)
$ \vert A\vert _{\rm row}=\sup\limits_{\vec{x}}\frac{\vert A\vec{x}\vert _{\infty}}{\vert\vec{x}\vert _{\infty}}$
b)
$ \vert A\vert _{\rm col}=\sup\limits_{\vec{x}}\frac{\vert A\vec{x}\vert _{1}}{\vert\vec{x}\vert _{1}}$
c)
$ \vert A\vert _{\rm spc}=\sup\limits_{\vec{x}}\frac{\vert A\vec{x}\vert _{2}}{\vert\vec{x}\vert _{2}}$
Dokažte též, že se supremum nabývá.


Řešení: Budeme postupovat pro každou dvojici maticové a vektorové normy zvlášť. Nejprve dokážeme, že maticové normy ze zadání příkladu jsou vždy větší nebo rovny příslušným výrazům, které stojí za znakem suprema.


a)

$\displaystyle \frac{\vert A\vec{x}\vert _{\infty}}{\vert\vec{x}\vert _{\infty}}...
...imits_{j}\vert A_{ij}\vert\vert x_j\vert}{\max\nolimits_{i}\vert x_i\vert}
\le$

$\displaystyle \hspace{2cm}\le
\frac{\max\nolimits_{i}\sum\nolimits_{j}\vert A_...
...t}=
\max\limits_{i}\sum\limits_{j}\vert A_{ij}\vert=\vert A\vert _{\rm row}\,.$


b)

$\displaystyle \frac{\vert A\vec{x}\vert _{1}}{\vert\vec{x}\vert _{1}}=
\frac{\...
...imits_{i,j}\vert A_{ij}\vert\vert x_j\vert}
{\sum\nolimits_{i}\vert x_i\vert}=$

$\displaystyle \hspace{2cm}
=\frac{\sum\nolimits_{j}\vert x_j\vert\left(\sum\no...
...}\sum\nolimits_{i}\vert A_{ik}\vert\right)}
{\sum\nolimits_{i}\vert x_i\vert}=$

$\displaystyle \frac{\left(\max\nolimits_{k}\sum\nolimits_{i}\vert A_{ik}\vert\r...
...max\nolimits_{k}\sum\nolimits_{i}\vert A_{ik}\vert=
\vert A\vert _{\rm col}\,.$


c) Již jsme ukázali, že matice $ M=A^\dag A$ je pozitivně semidefinitní, neboli že její vlastní čísla jsou nezáporná (viz rovnici 27). Jelikož je to hermitovská matice ($ M=M^\dag$), existuje ortonormální báze {\bb R}$ ^n$ tvořená jejími vlastními vektory (označme je $ \vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n$); bez újmy na obecnosti lze předpokládat $ \lambda_1\ge
\ldots\ge\lambda_n\ge 0$. Je-li tedy $ \vec{x}$ libovolný vektor, musí platit

$\displaystyle \langle A^\dag A\vec{x}\vert\vec{x}\rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bigg\langle A^\dag A\sum_{i}\langle \vec{e}_i\vert\vec{x}\rangle...
...i\bigg\vert
\sum_{j}\langle \vec{e}_j\vert\vec{x}\rangle \vec{e}_j\bigg\rangle=$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \bigg\langle \sum_{i}\lambda_i\langle \vec{e}_i\vert\vec{x}\rangl...
...\rangle=
\sum_{i}\lambda_{i}\vert\langle \vec{e}_i\vert\vec{x}\rangle\vert^2\le$  
  $\displaystyle \le$ $\displaystyle \sum_{i}\lambda_{1}\vert\langle \vec{e}_i\vert\vec{x}\rangle\vert^2=
\lambda_{1}\langle x\vert x\rangle\,.$  

Dokázali jsme tedy $ \vert Ax\vert _2^2\le\lambda_{1}\vert x\vert _{2}^2=\vert A\vert _{\rm spc}^2\vert x\vert _{2}^2$, což je kvadrát dokazované nerovnosti.

Nyní dokažme, že se suprema ve všech případech nabývají:

a)
Nechť se maximum v maticové normě nabývá v $ k$-tém řádku. Uvažme vektor $ \vec{w}=\left(\vert A_{k1}\vert/{A_{k1}},\ldots,
\vert A_{kn}\vert/{A_{kn}}\right)$. Potom $ \vert\vec{w}\vert _{\infty}=1$ a $ \vert A\vec{w}\vert _{\infty}\ge
\sum\nolimits_{i}\vert A_{ki}\vert=\vert A\vert _{\rm row}$.
b)
Nechť se maximum v maticové normě nabývá v $ k$-tém sloupci. Uvažme vektor $ \vec{w}$, jehož jedinou nenulovou složkou je jeho $ k$-tá složka a ta má velikost jedna. Potom $ \vert\vec{w}\vert _{1}=1$ a $ \vert A\vec{w}\vert _{1}=
\sum\nolimits_{i}\vert A_{ik}\vert=\vert A\vert _{\rm col}$.
c)
Rovnost se nabývá pro libovolný vlastní vektor příslušný k největšímu (v absolutní hodnotě) vlastnímu číslu matice $ A^\dag A$.
Pokud některý ze zlomků v řešení tohoto příkladu nebyl korektně definován (měl nulového jmenovatele), uvažujme místo něj nulu.

$ \ast$DK$ \ast$