Odpor osmistěnu

Úkol: Procvičte si řešení soustav lineárních rovnic. Mějte drátěný pravidelný osmistěn. Každá z jeho dvanácti hran nechť má odpor $ R$.

a)
Přívody jsou připojeny na protější vrcholy a procházející proud je $ I$. Spočtěte napětí mezi těmito vrcholy. Využijte maximálně symetrie problému.
b)
Zopakujte předchozí bod, ovšem s přívody na sousedních vrcholech.


Řešení:


a) V každém vrcholu končí 4 hrany. Díky symetrii musí v prvním případě do každé hrany téci proud $ \frac{1}{4}I$. Napětí na každé z těchto 4 hran je $ \frac{1}{4}RI$, totéž platí i pro protější 4 hrany. Celkově jsou mezi protejšími vrcholy dvě takové hrany, čili celkové napětí je rovno $ 2\frac{1}{4}RI=\frac{1}{2}RI$, což je odpověď na první otázku. Čtyřmi hranami čtverce v rovině kolmé na spojnici připojených vrcholů neprotéká díky symetrii žádný proud.


=0.7mm \includegraphics[scale=0.7]{OBRAZKY/osmisten.eps} (-34,10)$ I_5$ (-24,12)$ I_4$ (-11.5,12)$ I_4$ (-15,22)$ I_1$ (-32,25)$ I_2$ (-21.5,30)$ I_5$ (-11.5,35)$ I_2$ (-30,33)$ I_3$ (-36,50)$ I_5$ (-27.5,50)$ I_4$ (-21,49)$ I_5$ (-10,48)$ I_4$


b) Na obrázku jsme označili proudy $ I_i$. Díky symetrii problému jsme mohli označit některé proudy protékající různými hranami stejným symbolem. Kroužky označují elektrické přívody. Kontinuita proudu u přívodů, resp. kontinuita proudu ve vrcholu vlevo uprostřed, resp. kontinuita proudu v horním vrcholu (Kirchhoffův zákon poprvé) nám dává rovnice

\begin{displaymath}\begin{array}{c}I_1+I_2+2I_4=I,\quad
 I_2-I_3-2I_5=0\,,\\ (1-1)(I_4+I_5)=0\,.\end{array}\end{displaymath} (1)

Všimněte si, že poslední podmínka je triviální právě proto, že horní vrchol leží symetricky mezi přívody. Podmínky pro napětí na přední stěně, zadní stěně a levé stěně (Kirchhoffův zákon podruhé) dávají postupně

$\displaystyle R(I_1-2I_4)=0\,,\quad R(I_3-2I_5)=0\,,
 R(I_2+I_5-I_4)=0\,.$ (2)


Ostatní podmínky jsou díky symetriím buď totožné s podmínkami (1) a (2), nebo jsou to jejich součty a rozdíly, (čemuž říkáme lineární kombinace).

Pohledem na (1) a (2) zjistíme, že máme 5 netriviálních rovnic pro 5 neznámých. Vyjádřením $ I_4=\frac{1}{2}I_1$ a $ I_3=2I_5$ z (2) a dosazením do poslední rovnice z (2) a do (1) dostáváme tři rovnice pro $ I_1,I_2,I_5$

$\displaystyle \textstyle I_2+I_5-\frac{1}{2}I_1=0,\quad
 2I_1+I_2=I,\quad I_2-4I_5=0.$    

Sečtením čtyřnásobku první rovnice s třetí rovnicí dostáváme rovnici

$\displaystyle \nonumber\textstyle
5I_2-2I_1=0 \quad\Rightarrow\quad I_2=\frac 25 I_1$

a dosazením do druhé rovnice v (3) máme

$\displaystyle \nonumber\textstyle 2I_1+\frac 25I_1=I \quad\Rightarrow\quad
I_1=\frac{5}{12}I.$

Napětí mezi přívody je tedy $ RI_1=\frac{5}{12}RI$.

$ \ast$LM$ \ast$