Pauliho spinové matice

Úkol: Kdo z Vás přiřadí Pauliho maticím nejvíce přívlastků17? Jde o tyto matice:

$\displaystyle \sigma_1 =\left( \begin{array}{rrr}
 \circ & 1 \\ 
 1 & \circ 
 \...
...ma_3 =\left( \begin{array}{rrr}
 1 & \circ \\ 
 \circ & -1
 \end{array}\right).$ (29)

a)
Jsou regulární, hermitovské (samoadjungované), unitární, idempotentní?
b)
Je jejich součin komutativní? Spočítejte jejich komutátory a antikomutátory.
c)
Ověřte jejich vzájemnou podobnost.
d)
Přes jaké matice jsou si podobné?
Dále spočtěte
e)
jejich vlastní čísla,
f)
vlastní vektory a
g)
determinanty,
h)
exponenciály z  $ {i}\varphi \sigma_{x,y,z}$
i)
a determinanty exponenciál.
j)
Další fantazii se meze nekladou.


Řešení:


a) Ano (suverénně). Lineární nezávislost řádků, z níž regularita plyne, je nasnadě. Stejně tak s hermicitou ( $ A=A^\dag\df= \overline{A^T}$) a s unitaritou ( $ AA^\dag =\mathbbm{1}$, $ A^\dag
A=\mathbbm{1}$; druhá relace plyne v konečné dimenzi z první relace).

Mimochodem -- kterákoliv z posledních dvou podmínek zaručuje, že se jedná o matice normální ($ A$ je normální, pokud $ AA^\dag =A^\dag A$). Naopak z toho, že poslední dvě podmínky platí současně, plyne idempotence, neboli že jsou to samy sobě inverzní matice ( $ A^2=\mathbbm{1}$).


b) Antikomutativní. $ \sigma_1 \cdot \sigma_2=-\sigma_2 \cdot
\sigma_1=i\cdot \sigma_3;\ \allowbrea...
... \allowbreak
\sigma_2 \cdot \sigma_3=-\sigma_3 \cdot \sigma_2=i\cdot \sigma_1.$ Těchto šest relací spolu s  $ \sigma_j^2=\mathbbm{1}$ se obvykle shrnuje do jednoho vzorečku

$\displaystyle \sigma_j\sigma_k=i\varepsilon _{jkl}\sigma_l+\delta_{jk}\mathbbm{1}\,.$ (30)

V něm používáme Einsteinovu sumační konvenci, tedy na pravé straně sčítáme přes opakující se index ( $ \sum_{l=1}^3$). Kroneckerův symbol $ \delta_{jk}$ je roven jedné pro $ j=k$ a jinak nule. Symbol $ \varepsilon _{jkl}$ (Levi-Civittův symbol) má hodnoty $ \varepsilon _{123}=\varepsilon _{312}=\varepsilon _{231}=1$, $ \varepsilon _{213}=\varepsilon _{132}=\varepsilon _{321}=-1$ a $ \varepsilon _{jkl}=0$ jinak (tj. když jsou některé z indexů stejné); je to tedy veličina totálně antisymetrická (při záměně libovolných dvou indexů mění znaménko).

Z relace 30 snadno odvodíme vzorce pro komutátory $ [A,B]=AB-BA$ a antikomutátory $ \{A,B\}=AB+BA$. Stačí vzít na vědomí, že $ \varepsilon _{jkl}-\varepsilon _{kjl}=2\varepsilon _{jkl}$ a $ \varepsilon _{jkl}+\varepsilon _{kjl}=0$.

$\displaystyle [\sigma_j,\sigma_k]=2i\varepsilon _{jkl}\sigma_l\,,\qquad
 \{\sigma_j,\sigma_k\}=2\delta_{jk}\mathbbm{1}\,.$ (31)


c, d) Podobnostní vztahy jsou treba

$\displaystyle (\sigma_1+\sigma_2)\sigma_2(\sigma_1+\sigma_2)^{-1}=\sigma_1\,, $

další dva získáme cyklickou záměnou indexů. Inverzní prvek k  $ \sigma_1+\sigma_2$ je $ \frac{1}{2}(\sigma_1+\sigma_2)$; to ověříme nejjednodušeji pomocí antikomutačních relací a idempotence:

$\displaystyle (\sigma_1+\sigma_2)(\sigma_1+\sigma_2)=\sigma_1^2+\sigma_1\sigma_...
...a_2^2=\mathbbm{1}+\sigma_1\sigma_2-\sigma_1\sigma_2+\mathbbm{1}=2\mathbbm{1}\,.$

Stejně můžeme zkontrolovat i podobnostní relaci.

Matic, které zprostředkovávají podobnostní relaci, je samozřejmě nekonečně mnoho.


e) Ze $ \sigma_i^2=\mathbbm{1}$ plyne, že vlastní čísla mohou být pouze 1 či $ -1$. Kdyby byla obě dvě rovna $ 1$, resp. $ -1$, musela by příslušná matice být $ \mathbbm{1}$, resp. $ -\mathbbm{1}$. Jelikož tomu tak není, musí být vlastní čísla každé Pauliho matice $ 1$ a $ -1$. Varianta, že by matice měla jediné vlastní číslo a nebyla diagonalizovatelná (viz kapitolu o Jordanově tvaru), nemůže pro hermitovské matice nastat.

Lze to samozřejmě ověřit i standardním postupem: určíme charakteristické polynomy $ \chi(\lambda)=\mathop{\rm det}\nolimits (A-\lambda\mathbbm{1})$ a zjistíme, že jsou u všech Pauliho matic totožné, totiž $ \chi(\lambda)=\lambda^2-1$.


f) Pro každou matici získáme její vlastní vektory řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých s použitím vlastních čísel. Vyjde nám například

$\displaystyle \sigma_1:\, {1\choose 1}\,,\ {1\choose -1}\quad
\sigma_2:\, {1\choose {i}}\,,\ {1\choose -{i}}\quad
\sigma_3:\, {1\choose 0}\,\ {0\choose 1}\,,$

první vektor přísluší vždy vlastnímu číslu $ 1$, druhý $ -1$. Každý nenulový násobek vlastního vektoru je samozřejmě také vlastním vektorem dané matice.


g) $ \mathop{\rm det}\nolimits \sigma_{x,y,z}=-1$. Determinant je také součin vlastních čísel, takže už ani nemusíme nic počítat.


h) Nejprve určíme $ \exp({i}\varphi \sigma_3)$. Exponenciála matice je definována pomocí mocninné řady. Mocniny diagonální matice se počítají obzvláště snadno: stačí jen umocňovat jednotlivé elementy na diagonále. Velmi snadno se dopracujeme k výsledku

to $ \ds \exp{({i}\varphi \sigma_3)} = \sum_{n=0}^{\infty}
\left( \begin{array}{cc...
...^n & \circ \cr
\circ & {\frac{1}{n!}(-{i}\varphi )^n}\end{array}\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =\left( \begin{array}{rrr}
\mathop{\rm e}^{{i}\varphi }\nolimits & ...
...its
\end{array}\right)= \cos \varphi \mathbbm{1}+ {i}\sin \varphi \sigma_3\,.$$\displaystyle \hss
$

S maticemi $ \sigma_{1,2}$ budeme mít trochu více práce. Důležitý postřeh na úvod je

$\displaystyle \sigma_1=\left( \begin{array}{rrr}
\circ & 1 \\
1 & \circ
\e...
...^2=\left( \begin{array}{rrr}
1 & \circ \\
\circ & 1
\end{array}\right)\,.
$

V mocninné řadě, kterou je definovaná exponenciála, budou tedy sudé mocniny přispívat (pouze) do diagonálních členů ($ a_{11}$, $ a_{22}$) a liché zase (pouze) do nediagonálních členů ($ a_{12}$, $ a_{21}$). Postupně dostáváme

$\displaystyle %\exp{(\imath \vp\sigma_1)}=
$   to $ \ds \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{({i}
\varphi \sigma_1)^{n}}{n!}}=
\sum_{n=0}^\...
...2n+1)!}
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&1\cr 1&0\end{array}\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =\sum_{n=0}^\infty
\left( \begin{array}{ccccccccccccc}
{\frac{(-1...
...i & {i}\sin \varphi \\
{i}\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right)\,.$$\displaystyle \hss
$

Estetičtěji lze tento výsledek zapsat jako

$\displaystyle \exp{({i}\varphi \sigma_1)} = \mathbbm{1}\cos\varphi +i\sigma_1\sin\varphi \,.
$

Stejným trikem (sudé mocniny přispívají na diagonálu, liché mocniny mimo diagonálu) spočítáme podobný vztah jako pred chvílí (plyne to taky z podobnosti tech matic $ \sigma_3$ a $ \sigma_1$)

$\displaystyle \exp{({i}\varphi \sigma_2)}=\left( \begin{array}{rrr}
\cos\varph...
...\varphi
\end{array}\right)=\mathbbm{1}\cos\varphi +i\sigma_2\sin\varphi \,.
$

Všimněte si, že matice $ \exp({i}\varphi \sigma_j)$ jsou unitární. To je zaručeno již tím, že $ \varphi \sigma_j$ jsou hermitovské. Toto tvrzení je analogií věty $ z=\overline{z}\ \Rightarrow \ \vert\mathop{\rm e}^{iz}\nolimits \vert=1$, která platí pro komplexní čísla.


i) $ \mathop{\rm det}\nolimits \exp{\sigma_{1,2,3}}=\exp\mathop{\rm Tr}\nolimits
\sigma_{1,2,3}=1$. Determinanty exponenciál lze ale spočítat samozřejmě i přímo.


j) Tyto tři matice spolu s jednotkovou maticí tvoří nad {\bb R} bázi prostoru všech hermitovských matic $ 2\times 2$, který je tudíž izomorfní {\bb R}$ ^4$. Nad {\bb C} to je báze prostoru všech matic $ 2\times 2$ s komplexními elementy. Ten je samozřejmě izomorfní {\bb C}$ ^4$.

Operátor spinu elektronu v kvantové mechanice je $ \widehat{\vec{S}} =
\frac{1}{2}\hbar(\sigma_1,\allowbreak\sigma_2,\sigma_3)$, kde $ \hbar$ je Planckova konstanta. Operátory v kvantové mechanice nejsou nic jiného než lineární zobrazení na určitém prostoru. Prostorem, na kterém se pohybujeme v tomto případě, jsou stavy jednoho (volného) elektronu, nezajímáme-li se o jeho pohyb, ale pouze o jeho spin. Je to prostor dvourozměrný, a uvedené Pauliho matice popisují operátor spinu, pokud si v tomto prostoru zvolíme bázi $ \vert\!\uparrow
\rangle\equiv (1,0)^T$, $ \vert\!\downarrow \rangle\equiv (0,1)^T$. První vektor označuje stav, kdy při měření průmětu spinu elektronu s jistotou naměříme $ \frac{1}{2}\hbar$, druhý vektor odpovídá stavu s průmětem spinu $ -\frac{1}{2}\hbar$.

Je-li elektron ve stavu $ \vec{v}\equiv
\vert\psi\rangle =\alpha\vert\!\uparrow\rangle +\beta\vert\!\downarrow\rangle $ normovaném na jedničku (tedy $ \vert\alpha\vert^2+\vert\beta\vert^2=1$), pak

$\displaystyle \langle\widehat{\vec{S}}\rangle_\psi=\langle\psi\vert \widehat{\v...
...\vec{v}^T\sigma_1\vec{v},
\vec{v}^T\sigma_2\vec{v},\vec{v}^T\sigma_3\vec{v})
$

udává hodnoty průmětu spinu do směrů souřadných os, které získáme v průměru při mnoha měřeních.

$ \ast$AK,ZJ$ \ast$