Matice homomorfizmu

Úkol: Je zadán homomorfizmus $ F: V\rightarrow V$, $ V=${\Cal L}$ \{\sin x, \cos x,\allowbreak \sin 2x,\allowbreak \cos 2x\}$, $ F:
f\mapsto 2f'+f''$. Najděte jeho matici vzhledem k bázi

a)
$ A=\{\sin x,~\cos x,~\sin 2x,~\cos 2x\}$ (matice $ F_A$)
b)
$ B=\{\sin x + \cos x,~\sin x - \cos x,~\sin 2x + \cos 2x,~\sin
2x - \cos 2x\}$ (matice $ F_B$).
Jaká je dimenze obrazu $ F$? Existuje nějaký invariantní podprostor $ V$ vzhledem k $ F$?


Řešení: Na úvod dokažme, že v $ A$ jsou lineárně nezávislé funkce. Předpokládejme, že existují čísla $ \alpha, \beta,\gamma, \delta$, pro která je

$\displaystyle \alpha\sin x+ \beta\cos x+\gamma\sin 2x+ \delta\cos 2x=0\,,\quad
\forall x\in${\bb R}$\displaystyle \,.
$

Pokud do této rovnice dosadíme jednou $ x=0$ a podruhé $ x=\pi$, dostaneme podmínky $ \beta+\delta=0$ a $ \beta-\delta=0$, tedy $ \beta=\delta=0$. Pro $ x=\frac{1}{2}\pi$ a $ x=\frac{3}{2}\pi$ dostaneme podobně $ \alpha=\gamma=0$. Funkce jsou tedy nezávislé už jen kdybychom je uvažovali na množině $ \{0,\frac{1}{2}\pi,\pi,\frac{3}{2}\pi\}$, natož pak na celém {\bb R}.


a) Ze zadání homomorfizmu plynou vztahy:

$\displaystyle \arraycolsep=2pt
 \begin{array}{rclrcl}
 F(\sin x) &= &2\cos x - ...
...= &4\cos 2x - 4\sin 2x\,, &
 F(\cos 2x)& =&-4\sin 2x - 4\cos 2x\,.
 \end{array}$ (32)

V bázi $ A$ znamená například první vztah $ F: (1,0,0,0)\mapsto
(-1,2,0,0)$, podobně můžeme zapsat i ostatní vztahy. Matice $ F_A$ má tedy (násobením zleva) ze sloupce $ (1,0,0,0)$ učinit sloupec $ (-1,2,0,0)$. To je možné jen tehdy, pokud v prvním sloupci matice $ F_A$ bude právě $ (-1,2,0,0)$. Když probereme ostatní vektory báze, dostaneme takto celou matici.

Pravidlo tedy zní: koeficienty ze vztahů 32 zapsat do sloupců matice $ F_A$.

$\displaystyle F_A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
-1 & -2 & 0 & 0\cr
2 & -1 & 0 & 0\cr
0 & 0 & -4 & -4\cr
0 & 0 & 4 & -4\cr
\end{array}\right)
$

Hodnost této matice je čtyři, zobrazení $ F$ má tedy plnou dimenzi, a je tudíž izomorfizmem (tato implikace platí samozřejmě pouze pro lineární zobrazení).

Matice má blokově diagonální tvar a to znamená, že při působení na lineární kombinaci $ \sin x$ a $ \cos x$ obdržíme opět lineární kombinaci těchto vektorů. Říkáme, že podprostor {\Cal L}$ (\{\sin x,\cos x\})$ je invariantní vůči zobrazení $ F$. Podobně toto platí pro vektory $ \sin
2x$ a $ \cos 2x$. Pro toto zobrazení lze tedy zapsat prostor $ V$ jako direktní součet invariantních podprostorů

$\displaystyle V=${\Cal L}$\displaystyle (\{\sin x,\cos x\})\oplus${\Cal L}$\displaystyle (\{\sin 2x,\cos 2x\})\,.$

Zobrazení $ F$ tedy pracuje na každém z těchto dvou podprostorů nezávisle.


b) Zde můžeme postupovat stejně a vyjádřit si $ F(f_{i})$ jako lineární kombinace prvků báze $ f_{i}$: $ f_{1}=\sin x + \cos x$, $ f_{2}=\sin x - \cos x$, $ \ldots$

$\displaystyle F(f_{1})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x-3\sin x=-f_{1}-2f_{2}$  
$\displaystyle F(f_{2})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x+3\cos x=2f_{1}-f_{2}$  
$\displaystyle F(f_{3})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -8\sin 2x=-4f_{3}-4f_{4}$  
$\displaystyle F(f_{4})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 8\cos 2x=4f_{3}-4f_{4}$  

Takže matice homomorfizmu $ F$ vůči bázi $ B$ je

$\displaystyle F_B=\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
-1 & 2 & 0 & 0\cr
-2 & -1 & 0 & 0\cr
0 & 0 & -4 & 4\cr
0 & 0 & -4 & -4\cr
\end{array}\right)
$

Matice je opět blokově diagonální. Existují ale i báze, kde tomu tak není. Například báze, jejichž některé vektory obsahují zároveň $ \sin x$ i $ \sin
2x$.

Druhá metoda, jak vypočítat matici $ F_B$, je najít matici přechodu od báze $ A$ k bázi $ B$, tedy matici $ C$, pro niž

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
 (\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x)\cdot C=\\ [...
... 2x + \cos 2x,
 \sin 2x - \cos 2x)\,.
 \end{array}\hspace{-1pt}\end{displaymath} (33)

Potom musí pro matici $ B$ platit

$\displaystyle F_B=C^{-1}\cdot F_A\cdot C\,.$

Všimněte si, že zatímco matice $ C$ převádí bázové funkce $ A$ na bázové funkce $ B$ (psané do řádků), složky nějaké funkce vzhledem k bázi $ A$ (psané do sloupců) se na složky téže funkce vzhledem k bázi $ B$ převádějí pomocí matice $ C^{-1}$.

Matici $ C$ určíme vytrvalým pohledem na rovnici 33. Pro výpočet matice $ C^{-1}$ je vhodné si uvědomit vztahy

$\displaystyle 2\sin x=f_{1}+f_{2}\,,\;2\sin 2x=f_{3}+f_{4}$

$\displaystyle 2\cos x=f_{1}-f_{2}\,,\;2\cos 2x=f_{3}-f_{4}\,.$

Výsledkem je

$\displaystyle C=\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
1 & 1 &\phantom{-} 0 & 0\c...
...
1 & -1 & 0 & 0\cr
0 & 0 & 1 & 1\cr
0 & 0 & 1 & -1\cr\end{array}\right)\,.
$

$ \ast$JK$ \ast$