Matice vektorového součinu

Úmluva: Zápisem $ (x_1,x_2,x_3)_B$ myslíme složky určitého vektoru vzhledem k bázi $ B$.

Úkol: Mějme pevně zadaný vektor $ \vec{v} \in${\bb R}$ ^3$ a uvažujme zobrazení $ \varphi :\vec{x}\mapsto \vec{v}\times\vec{x}$.

  1. Ukažte, že se jedná o lineární zobrazení, pokud vektorový součin definujeme předpisem

    $\displaystyle (x_1,x_2,x_3)\times (y_1,y_2,y_3)=
 (x_2y_3-x_3y_2,x_3y_1-x_1y_3,x_1y_2-x_2y_1)$ (34)

  2. Najděte jeho matici vzhledem ke kanonické bázi ( $ K=\{\vec{e}_1,\allowbreak \vec{e}_2, \vec{e}_3\}$) a pomocí této matice spočítejte $ \varphi (\vec{y})$ pro vektor zadaný ve složkách v kanonické bázi $ \vec{y}=(1,1,0)_{K}$.
  3. Nalezněte matici zobrazení $ \varphi $ vzhledem k bázi $ B=\{\vec{b}_1,\allowbreak\vec{b}_2,\allowbreak\vec{b}_3\}=\{(1,1,0),
(1,-1,0),(0,0,1)\}$ a spočítejte pomocí ní opět $ \varphi (\vec{y})$.


Řešení:


1. Platí $ \varphi (\lambda \vec{x})=(\lambda v_2x_3-\lambda v_3x_2,
\lambda v_3x_1-\lambda v_1x_3,\lambda v_1x_2-\lambda
v_2x_1)=\lambda\varphi (\vec{x})$ a podobně se ukáže $ \varphi (\vec{x}+\vec{y})=\varphi (\vec{x})+\varphi (\vec{y})$.


2. Chceme aby platilo

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\cr
 a...
...ccccccc} v_2x_3-v_3x_2\cr v_3x_1-v_1x_3\cr v_1x_2-v_2x_1\end{array}\right)_K\,.$ (35)

To je rovnost dvou sloupcových vektorů; aby byl splněn její první řádek (pro každé $ x_1,x_2,x_3$), musí být $ a_{11}=0$, $ a_{12}=-v_3$, $ a_{13}=v_2$. Ze druhého a třetího řádku pak určíme zbylé elementy matice:

$\displaystyle A_K=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0 & -v_3 & v_2\cr v_3 & 0 & -v_1\cr -v_2 & v_1 & 0\end{array}\right)\,.$ (36)

Dosazením do vztahu (35) $ x_1=1$, $ x_2=1$, $ x_3=0$ dostaneme $ \varphi (\vec{x})=(-v_3,v_3,-v_2+v_1)_K$.


3. První způsob: napíšeme rovnici odpovídající vztahu (35), tentokrát ale v bázi $ B$. Sloupcový vektor vlevo i vpravo potřebujeme vyjádřit v této bázi. Budiž tedy $ \vec{x}=(b_1,b_2,b_3)_B$. Na pravou stranu potřebujeme vypočítat $ \varphi (\vec{x})$ a hodnotu $ \varphi (\vec{x})$ umíme počítat jen v kanonické bázi. Vidíme ale přímo, že $ \vec{x}=
b_1\vec{b}_1+b_2\vec{b}_2+b_3\vec{b}_3=
(b_1+b_2,b_1-b_2,b_3)_K$, tedy (viz definiční vztah 34)

$\displaystyle \varphi (\vec{x})=\big(v_2b_3-v_3(b_1-b_2), v_3(b_1+b_2)-v_1b_3,
v_1(b_1-b_2)-v_2(b_1+b_2)\big)_K\,.
$

Tento výsledek je nutné ještě převést do báze $ B$. Platí $ (y_1,y_2,y_3)_K= \big(\frac{1}{2}(y_1+y_2), \frac{1}{2}(y_1-y_2),y_3\big)_B$ (to je vidět díky jednoduchosti báze $ B$, $ \vec{e}_1=\frac{1}{2}(\vec{b}_1+\vec{b}_2)$, $ \vec{e}_2=\frac{1}{2}(\vec{b}_1-\vec{b}_2)$, $ \vec{e}_3=\vec{b}_3$; ve složitějších případech bychom museli řešit soustavu rovnic), a tudíž

$\displaystyle \hspace{-1mm}
\varphi (\vec{x})=\big(\textstyle\frac{1}{2}(v_2-v...
...tstyle\frac{1}{2}(v_1+v_2)b_3,
b_1(v_1-v_2)-b_2(v_1+v_2)\big)_B\hspace{-5mm}
$

Analogie vztahu (35) je tedy

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0 & v_3 & \frac{1}{2}(v_2-v_1)...
...begin{array}{ccccccccccccc} b_1 \cr b_2\cr b_3\end{array}\right)_B=\hspace{3cm}$

$\displaystyle \hspace{3cm}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \frac{1}{2}(v_2-v...
...+\frac{1}{2}(v_1+v_2)b_3\cr
b_1(v_1-v_2)-b_2(v_1+v_2)\end{array}\right)_B\,,
$

matice vlevo je hledaná matice $ \varphi $ vzhledem k bázi $ B$. Tato matice má podobný tvar, jako matice v bodě 2. Odchylka (matice nyní není antisymetrická) je způsobena tím, že jsme provedli neorto normální transformaci báze. Čísla $ v_1,v_2,v_3$ v matici jsou složky $ \vec{v}$ samozřejmě stále v kanonické bázi.

Pro vektor $ \vec{x}=(1,0,0)_B$ dostaneme $ \varphi (\vec{x})=(0,-v_3,v_1-v_2)_B$, což je totéž jako $ (-v_3,v_3,v_1-v_2)_K$, jak nám také mělo vyjít.

Druhý způsob: Použijeme vztahy pro transformaci matice lineárního zobrazení při změně báze. Matice přechodu $ S$ od báze $ K$ k bázi $ B$ je

$\displaystyle (\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3)=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)
...
...ccccccccccccc} 1 & 1 & 0\cr 1 & -1 & 0\cr 0 & 0 & 1\end{array}\right)}_{S}\,,
$

čili jsme psali (kanonické) složky vektoru $ \vec{b}_i$ do $ i$-tého sloupce matice $ S$ (skutečně, například $ \vec{b}_1=(1,1,0)=1\cdot \vec{e}_1+
1\cdot \vec{e}_2 + 0\cdot \vec{e}_3$). Matice $ S$ také transformuje složky obecného vektoru $ \vec{x}$ vzhledem k bázi $ B$ zapsané do sloupcového vektoru na složky vzhledem ke kanonické bázi (to se opět jednoduše zkontroluje: je-li $ \vec{x}=(1,0,0)_B=\vec{b}_1$, pak $ S(1,0,0)^T=(1,1,0)^T$, což je skutečně $ \vec{b}_1$ v kanonické bázi).

Matice zobrazení $ \varphi $ v bázi $ B$ pak bude $ A_B=S^{-1}A_KS$: pokud násobíme zleva maticí $ A_B$ sloupcový vektor složek zobrazovaného vektoru vzhledem k bázi $ B$, matice $ S$ nejprve tyto složky ,,přeloží'' do kanonických složek. Matice $ A_K$ provede zobrazení (v kanonických složkách) a na závěr $ S^{-1}$ ,,přeloží'' výsledek zpět do složek v bázi $ B$.

$ \ast$KV$ \ast$