Výpočet inverzní matice

Úkol: Je dána matice

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 3&-4&5\cr 2&-3&1\cr 3&-5&-1\end{array}\right) $

Určete matici $ A^{-1}$ inverzní k $ A$.


Řešení:


1. Můžeme provést například poněkud rozšířenou Gaussovu eliminaci (viz také příklad 4.9). Vedle $ A$ napíšeme jednotkovou matici a upravujeme vzniklou matici $ 3\times
6$ řádkovými úpravami na tvar, kdy je vlevo jednotková matice $ 3\times 3$. Zbytek matice je potom $ A^{-1}$.

Metoda vychází z toho, že pokud z  $ (A\vert\mathbbm{1})$ vytvoříme řádkovými úpravami matici $ (B\vert C)$, pak platí $ CA=B$. Vyzkoušejte si to nejprve na matici v druhém řádku a uvědomíte si, že řádkové úpravy matice $ A$ lze simulovat násobením $ A$ zleva vhodnou maticí. Když potom v matici $ (B\vert C)$, která splňuje $ CA=B$, provedeme řádkovou úpravu popsanou maticí $ M$, dostaneme $ (MB\vert MC)$, a tudíž $ (MC)A=MB$ zůstane v platnosti.

   to \begin{displaymath}\ds
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{ccc}3&-4&5...
...{c}-3\cdot(2)+2\cdot(1)\to(2)\cr(1)-(3)\to(3)\end{array}}\hfill\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{ccc}3&-4&5\\ 0...
...el{\longrightarrow}{\begin{array}{c}(2)-(3)\to(3)\end{array}}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{ccc}3&-4&5\\ 0...
...y}{c}(2)-7\cdot (3)\to(2)\cr (1)-5\cdot (3)\to(1)\end{array}}
\end{displaymath}

   to \begin{displaymath}\hfill\ds
\left(\begin{array}{c\vert c}
\begin{array}{ccc}...
...gin{array}{c}\frac{1}{3}\cdot((1)+4\cdot(2))\to (1)\end{array}}\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

$ \left(\begin{array}{ccc\vert rrr}1&0&0&-8&29&-11\\ 0&1&0&-5&18&-7\\ 0&0&1&1&-3&1\end{array}\right)$,     tedy $ A^{-1}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} -8&29&-11\cr -5&18&-7\cr 1&-3&1&\end{array}\hspace{-3mm}\right)$.


2. Jiná možnost je využít vzorce

$\displaystyle (A^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}\frac{\mathop{\rm det}\nolimits A_{j,i}}{\mathop{\rm det}\nolimits A}\,$ (37)

kde $ A_{i,j}$ je determinant matice vzniklé z $ A$ vypuštěním $ i$-tého řádku a $ j$-tého sloupce (tzv. minoru). Pro $ (-1)^{i+j}\mathop{\rm det}\nolimits A_{j,i}$ se také používá termín algebraický doplněk. Ve vzorci 37 si všimněte, že vlevo jsou indexy $ i,j$ a vpravo $ j,i$.

Pro matice $ 2\times 2$ na nás z tohoto vzorce vykukuje Čihákovo pravidlo ,,prohodit prvky na diagonále, mimo diagonálu obrátit znaménka a celé dělit determinantem''

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} a&b\cr c&d\end{array}\right)^{...
...c{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} d&-b\cr -c&a\end{array}\right)\,.$ (38)

Vypočítáme tedy nejprve $ \mathop{\rm det}\nolimits A=-1$ a pak determinanty minorů $ A_{1,1}=8,$ $ A_{2,1}=29,$ $ A_{3,1}=11,$ $ A_{1,2}=-5,$ $ A_{2,2}=-18,$ $ A_{3,2}=-7,$ $ A_{1,3}=-1,$ $ A_{2,3}=-3,$ $ A_{3,3}=-1,$ odkud už je již zřejmě vidět výsledek. Pro přehled to shrňme

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{-1}
\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
\left\v...
...}{ccccccccccccc} 3&-4\cr 2&-3\end{array}\right\vert\cr
\end{array}\right)\,.
$

$ \ast$PK$ \ast$