Modulární grupa

Úkol: Uvažujte množinu {\bb SL}$ (2,${\bb Z}$ )$ všech matic $ 2\times 2$ s celočíselnými elementy a jednotkovým determinantem.

a)
Ukažte, že je to grupa vůči násobení: najděte inverzní matici k danému prvku {\bb SL}$ (2,${\bb Z}$ )$. Ukažte, že libovolné dvě sousední položky v matici jsou nesoudělná čísla.

b)
Ukažte, že matice

$\displaystyle {S}=\tb{rr}\circ&-1\\ 1&\circ.,\qquad
 {A}=\tb{rr}1&1\\ \circ&1.$ (39)

jsou generátory této grupy. Musíte tedy dokázat, že lze libovolný prvek grupy psát jako součin (konečně mnoha) matic $ A$ a $ S$.

c)
Uvažujte mřížku v komplexní rovině, neboli množinu bodů $ G(v_1,v_2)=\{mv_1+nv_2,\, m,n\in${\bb Z}$ \}$ pro dvě zadaná nenulová komplexní čísla $ v_1,v_2$, $ v_1/v_2\notin${\bb R} (viz obrázek 11). Ukažte, že mřížky $ G(v_1,v_2)$ a $ G(v_1',v_2')$, kde

$\displaystyle {v_1'\choose v_2'}=M{v_1\choose v_2}\,,\quad M\in${\bb SL}$\displaystyle (2,${\bb Z}$\displaystyle )
$

jsou totožné.

d)
Prozkoumejte mřížky $ G(v_1,1)$ a zjistěte, z jaké podmnožiny $ F$ komplexní roviny je třeba brát $ v_1$, abychom žádnou mřížku nedostali dvakrát a zároveň žádnou z mřížek nevynechali.

Obrázek: Mřížka v komplexní rovině. $ v_1'$, $ v_2'$ odpovídají reparametrizaci této mřížky popsané maticí $ M=({2\ 1\atop 1\ 1})$.
=1mm \includegraphics[scale=0.7]{OBRAZKY/mriz.eps} (-42.5,14.5)$ v_1$ (-39,6.5)$ v_2$ (-27,17)$ v_1'$ (-33,12.5)$ v_2'$ (-5,11)Re (-54,25)Im (-51,10)0


Řešení: a) Násobení matic je asociativní, jednotková matice tvoří neutrální prvek. Pro matici libovolného rozměru s jednotkovým determinantem a celočíselnými položkami bude nutně i inverzní matice celočíselná podle vzorce pro inverzní matici ,,subdeterminant lomeno determinant'' (vztah 37 v příkladu 6.5). Konkrétně z Čihákova vzorce (38)

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} a&b\cr c&d\end{array}\right)^{...
...}{ad-bc}
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} d&-b\cr -c&a\end{array}\right)\,
$

vidíme, že inverzní matice má pro $ a,b,c,d\in${\bb Z} a $ ad-bc=1$ také celočíselné položky. Jelikož je $ ad-bc$ násobkem libovolného společného dělitele čísel $ a,b$ a zároveň má být $ ad-bc$ rovno jedné, musí být $ a,b$ nesoudělná čísla (ale stejně tak $ a,c$ nebo $ d,b$ či $ d,c$).


b) Nyní chceme ukázat, že je grupa generována maticemi $ {A}, {S}$. Uvědomme si několik věcí. Například $ {S}^2=-\mathbbm{1}$ tj. $ {S}^4=\mathbbm{1}$ neboli $ {S}^{-1}={S}^3$. Stejně tak je užitečné vědět, že

$\displaystyle \nonumber {A}{S}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&-1\cr 1&\ci...
...S})^3=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} -1&\circ\cr\circ&-1\end{array}\right),$

a tedy $ {A}{S}{A}{S}{A}{S}=-\mathbbm{1}$, násobením $ {A}^{-1}$ zleva $ {S}{A}{S}{A}{S}=-{A}^{-1}$. Tudíž inverzní matice $ {A}^{-1}$ a $ {S}^{-1}$ lze získat jako součiny $ {A}, {S}$. Díky tomu je zapsání $ {M}\in$   {\bb SL}$ (2,${\bb Z}$ )$ jako součin $ {A}, {S}$ ekvivalentní úkol, jako násobit $ {M}$ maticemi $ {A}, {S}$ zleva tak, abychom nakonec dostali jednotkovou matici díky vzorcům typu $ ({A}{B}{C})^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$.

Každý sloupec matice $ {M}$ se při násobení maticemi zleva chová jako vektor. Užijeme Euklidova algoritmu pro hledání největšího společného dělitele čísel $ a,c$ (v prvním sloupci $ {M}$). Ten spočívá v tom, že opakovaně nahradíme větší z čísel $ a,c$ rozdílem $ \vert a-c\vert$, jelikož čísla $ a,c$ a $ a-c,c$ mají stejný největší společný dělitel. Iterací tohoto kroku, díky němuž očividně čísla klesají, se po konečném počtu kroků jedno číslo vynuluje a druhé udává největší společný dělitel.

V jazyce matic využijeme toho, že

$\displaystyle {A}^{-1}\tb{c}v_1\\ v_2.=\tb{c}v_1-v_2\\ v_2.,
 \quad {S}^3{A}{S}\tb{c}v_1\\ v_2.=\tb{c}v_1\\ v_2-v_1.,$ (40)

$\displaystyle {S}\tb{c}v_1\\ v_2.=\tb{r}-v_2\\ v_1.,\quad
 {S}^2=-\mathbbm{1}$ (41)

Postupujeme například tak, že působením matice $ {S}$ srovnáme relativní znaménko $ a,c$, pokud bylo opačné, působením $ {S}^2$ učiníme toto společné znaménko kladným, pokud bylo záporné. A hlavní krok spočívá v působení jedné z matic $ {A}^{-1}$ nebo $ {S}^3{A}{S}$, kterou nahradíme větší z čísel $ v_1,v_2$ jejich rozdílem, viz (40).

Jelikož počáteční matice měla $ a,c$ nesoudělná, jak jsme řekli výše, iterováním kroku z minulého odstavce dostaneme v prvním sloupci čísla $ 0,1$. Případným působením $ -{S}$ lze přesunout jednotku do levého horního rohu. Determinant všech zmíněných matic byl roven jedné, tudíž i determinant získané matice s prvním sloupcem $ (1,0)^T$ musí být roven jedné, díky čemuž i v pravém dolním rohu musí být jednotka. Případně nenulové číslo $ k$ v pravém horním rohu lehce vynulujeme dalším násobením maticí $ {A}^{-k}$, čímž dostaneme jednotkovou matici.


c) Matice $ {M}\in$   {\bb SL}$ (2,${\bb Z}$ )$ účinkuje takto:

$\displaystyle \nonumber {v_1\choose v_2}\mapsto
\tb{cc}a&b\\ c&d.{v_1\choose v_2}={av_1+bv_2\choose cv_1+dv_2}=
{v_1'\choose v_2'}$

Uvažujme nyní nějakou nedegenerovanou ( $ v_1/v_2\notin${\bb R}) mřížku $ G(v_1,v_2)$ {\bb C}. Nahrazením $ (v_1,v_2)$ dvojicí $ (v_1',v_2')$ dostaneme pro $ {M}\in${\bb SL}$ (2,${\bb Z}$ )$ tutéž mřížku, jelikož je každý prvek nové mřížky i celočíselnou kombinací $ v_1,v_2$, neboť $ M$ je celočíselná. Totéž platí i naopak, jelikož i $ M^{-1}$ je celočíselná.

Při přechodu od $ (v_1,v_2)$ $ (v_1',v_2')$ jsme tedy jen změnili generátory mřížky, což lze chápat také jako reparametrizaci mřížky, neboli změnu souřadnic bodů mřížky (čísla $ m,n$ v definici). Všimněte si podobnosti se změnou báze vektorového prostoru.

Podmínka $ \mathop{\rm det}\nolimits M=1$ má ještě jeden vedlejší důsledek, totiž že objem elementární cely (obsah rovnoběžníku vymezeného body $ 0,v_1,v_2,v_1+v_2$) zůstane při transformaci nezměněn.


d) Definujme nejprve ekvivalenci mezi mřížkami tak, že výše definovaná mřížka daná čísly $ v_1,v_2\in${\bb C} je konformně ekvivalentní všem mřížkám generovaným $ \kappa v_1,\kappa v_2$, kde $ \kappa\in${\bb C}$ \setminus\{0\}$, jinak řečeno všem otočeným a zvětšeným či zmenšeným mřížkám. Všechny mřížky jsou potom konformně ekvivalentní nějaké mřížce $ G(v_1,1)$ nebo jinak řečeno všechny mřížky se stejnou hodnotou $ \tau=v_1/v_2$ jsou konformně ekvivalentní.

Některé mřížky s různým $ \tau$ jsou ale také konformně ekvivalentní. Je ještě totiž třeba ztotožnit různé mřížky, pro které

$\displaystyle \tau' \equiv \frac{v_1'}{v_2'}=
\frac{av_1+bv_2}{cv_1+dv_2}=\frac{a\tau+b}{c\tau+d} $

pro nějakou matici $ M$ {\bb SL}$ (2,${\bb Z}$ )$. Budeme tedy hledat největší takovou oblast $ F$ {\bb C} (množinu všech $ \tau$), pro kterou $ \tau'$ ( $ M\neq\mathop{{\rm Id}}$) leží vždy mimo tuto oblast.

Vezměme si nějakou mřížku. Nalezneme nejkratší (podle absolutní hodnoty) nenulový prvek této mřížky, označme toto komplexní číslo $ v_2$. Nejkratší vektor z těch na $ v_2$ nezávislých označme $ v_1$. Znaménko $ v_1$ volme tak, aby podíl $ \tau=v_1/v_2$ měl kladnou imaginární část. Díky tomu, že $ v_2$ je nejkratší, zjevně platí $ \vert\tau\vert\geq 1$ a také $ \vert\mathop{\rm Re}\nolimits \tau\vert\leq \frac{1}{2}$, jinak by totiž jedno z čísel $ v_1\pm v_2$ mělo menší absolutní hodnotu než $ v_1$. Představte si $ v_2=1$, potom $ v_1\pm v_2$ má stejnou imaginární část jako $ v_1$, ovšem reálnou část má jedno z těchto čísel menší než $ v_1$, pokud bylo $ \vert\mathop{\rm Re}\nolimits \tau\vert>\frac{1}{2}$.

Funda-
mentální doména
mřížky.

(0.31,3.5cm)[r]
=1mm \includegraphics[scale=0.7]{OBRAZKY/fundom.eps} (-10.5,10)1 (-7,1) $ \frac{1}{2}$ (-20,1) $ -\frac{1}{2}$ (-10,30)Im (-10.5,1)0 (-2,1.5)Re
Tyto nerovnosti $ \vert\tau\vert\geq 1$, $ 2\vert\!\mathop{\rm Re}\nolimits \tau\vert\leq 1$, $ \mathop{\rm Im}\nolimits \tau>0$ ohraničují fundamentální doménu $ F$ grupy ze zadání (viz obrázek 12). Toto tvrzení znamená, že je-li $ v_2=1$, pak pro všechna $ v_1\in F$ dostaneme různé (a také samozřejmě konformně neekvivalentní) mřížky, zatímco pro $ v_1\notin
F$ dostaneme tutéž mřížku pouze definovanou nějakým jiným $ v_1\in F$.

Grupa {\bb SL}$ (2,${\bb Z}$ )$ se nazývá často modulární grupou, jde tedy o grupu všech netriviálních reparametrizací mřížky $ \Gamma\in$   {\bb C} respektive reparametrizací toru18 {\bb C}$ / \Gamma$. Tato grupa se objevuje na mnoha místech v kvantové teorii pole a v teorii strun: dualitová revoluce v posledních pěti letech 20. století ve skutečnosti ukázala, že tyto napohled zcela odlišné výskyty jsou často ekvivalentní.

$ \ast$LM$ \ast$