Cykličnost stopy

Úkol: Víme, že stopa má vlastnost cykličnosti, tj. platí, že $ \mathop{\rm Tr}\nolimits {AB} = \mathop{\rm Tr}\nolimits {BA} $. Jak je to pro součin více než dvou matic (třeba $ \mathop{\rm Tr}\nolimits {ABC} $)? Lze z cykličnosti odvodit, že můžeme matice v součinu libovolně permutovat?


Řešení: Z cykličnosti plyne, že pokud prvních několik matic v součinu označíme jako $ {A}$ a zbylé jako $ {B} $, platí:

$\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits (\underbrace{{IJK}}_{{A}} \underbrace{{L...
...its {AB} = \mathop{\rm Tr}\nolimits {BA} = \mathop{\rm Tr}\nolimits ({LMNOIJK})$

a obdobně lze pokračovat dále. Permutaci tohoto typu nazvěme ,,blokovou transpozicí'' (prohození dvou bloků) a zajímá nás tedy, jaké permutace lze získat skládáním blokových transpozic $ n$-prvkové posloupnosti (půjde o  nějakou podgrupu    {\bb S}$ _n$ -- grupy všech permutací na $ n$ prvcích), případně zda lze takto získat všechny permutace.

Pohleďme na blokovou transpozici na $ n$-prvkové posloupnosti, kde první blok má $ m$ prvků a druhý pak $ n-m$. Prohozením se druhý blok posune doleva o $ m$ a první posune doprava o $ n-m$, což, chápeme-li posun cyklicky, je také posun doleva o $ m$. Tato bloková transpozice je tedy vlastně cyklická permutace o $ m$, stejně tak jakékoli složení blokových transpozic je nějaká cyklická permutace, neboť tyto permutace tvoří grupu. Grupa cyklických permutací je izomorfní {\bb Z}$ _n$ -- množině $ \{0,\ldots,n-1\}$ se sčítáním modulo $ n$. Tato grupa je ovšem obvykle menší než grupa    {\bb S}$ _n$, protože má $ n$ prvků oproti $ n!$ prvkům grupy    {\bb S}$ _n$. Pro součin více než dvou matic tedy z cykličnosti stopy neplyne, že by matice v součinu bylo možno libovolně permutovat. (Najděte konkrétní příklad, kdy to skutečně nelze.)

Zjistili jsme tedy, že cykličnost stopy znamená její invarianci vůči cyklickým permutacím, odtud zřejmě název. Tuto invarianci můžeme též uvidět, když si napíšeme vzorec pro stopu součinu více matic, třeba

$\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits {ABCD} =
\sum_{i,j,k,l} {a^i{}_j b^j{}_k c^k{}_l d^l{}_i}\;.$

Obecněji pro součin $ n$ matic $ {A}_1, \ldots, {A}_n$, $ {A}_i=(a_i)_k^l$, $ k,l=1,\ldots, m$ můžeme psát

$\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits \prod_{i=1}^n {A}_i =
\sum_P \prod_{i=1}^n (a_i)^{P(i)}{}_{P(i+1)} $

kde $ P$ jsou ,,uzavřené procházky po indexech'', tj. posloupnosti indexů19 z množiny $ \{1,\ldots,m\}$ délky $ n+1$, jejichž první a poslední prvek je stejný (proto jsou uzavřené), a suma je přes všechny procházky tohoto typu.

Tento vzorec není invariantní vůči libovolné permutaci matic. Sousední matice jsou v něm totiž ,,svázány'' tím, že se sčítá přes jejich společné indexy, což by se obecnou permutací porušilo. Protože matice jsou takto ,,svázány'' do kruhu (neboť první je ,,svázána'' s poslední), neporuší se vzorec cyklickou permutací. Viz téz kapitolu 20, úlohu ,,jak rozsadit hosty u kulatého stolu''.

$ \ast$PC$ \ast$