Soustavy lineárních rovnic a elektrické obvody

Úkol: Uvažujme nějakou elektrickou síť obsahující zdroje stejnosměrného proudu a spotřebiče (odpory). Formálně ji lze popsat jako (orientovaný 2-souvislý) graf o $ N$ vrcholech, ve kterém každé větvi (hraně) je přiřazena velikost a směr protékajícího proudu. Tyto proudy vyhovují Kirchhoffovým zákonům

$\displaystyle \sum_{j,(kj)\in H}I_{kj}=0,\quad k=1,\ldots, N$ (3)

$\displaystyle \sum_{(i,j)\in C}I_{ij}R_{ij}=\sum_{(i,j)\in C}U_{ij},
 \quad C$ je libovolný cyklus v $\displaystyle H,$ (4)

kde $ I_{kj}$ znamená proud tekoucí hranou spojující $ j$-tý a $ k$-tý vrchol (uzel) grafu a $ U_{ij}$, resp. $ R_{ij}$ označuje elektromotorické napětí zdroje, resp. odpor v příslušné větvi (hraně). V (3) se sčítá přes všechny uzly $ j$ spojené s $ k$-tým uzlem hranou (což značíme $ (kj)\in H$, $ H$ je množina všech hran grafu), ve (3) je tedy tolik rovnic, kolik je vrcholů grafu (uzlů v obvodu). V (4) se sčítá přes všechny hrany $ (ij)$ obsažené v daném cyklu grafu; v (4) je tedy tolik rovnic, kolik je v celém obvodu cyklů (uzavřených smyček).

Dokažte, že soustava rovnic (3) a (4) má jednoznačné řešení pro daná napětí $ U_{ij}$ a odpory $ R_{ij}>0$.


Řešení: Kdyby existovala dvě různá řešení Kirchhoffových zákonů, potom bychom jejich odečtením dostali netriviální řešení pro tentýž obvod, avšak bez zdrojů napětí. Odhlédněme nyní na chvíli od fyzikální interpretace, podle níž je takové řešení nepřípustné (neboť bez baterie nám v obvodu proud nepoteče), a podívejme se na lineárně algebraickou podstatu problému. Na řešení této úlohy budeme demonstrovat jednu praktickou metodu řešení elektrických obvodů, tzv. metodu uzlových napětí.

Na našem grafu zavedeme potenciál $ u$ (jakožto funkci na vrcholech grafu) následujícím způsobem. Vybereme libovolný uzel grafu, nechť je to třeba uzel $ 1$, a přiřadíme mu potenciál $ u_1=0$. Pro libovolný jiný uzel $ k$ existuje díky souvislosti cesta $ i_1i_2\dots i_n$, spojující jej s uzlem $ 1$, tj. $ i_1=1$, $ i_n=k$. V uzlu $ k$ pak definujeme potenciál (zápis je jenom formální -- musíme být trochu opatrní s orientací proudů a polaritou napětí)

$\displaystyle u_k=\sum_{j=1}^{n-1}\left(
U_{i_ji_{j+1}}-I_{i_ji_{j+1}}R_{i_ji_{j+1}}\right).$

Díky druhému Kirchhoffovu zákonu (4) je tento potenciál dobře definován, tj. nezávisí% latex2html id marker 66681
\setcounter{footnote}{4}\fnsymbol{footnote} na volbě cesty spojující vrcholy $ 1$ a $ k$.

Každému řešení (3) a (4) lze takto připsat potenciál a naopak ze znalosti potenciálu můžeme jednoznačně rekonstruovat proudy podle

$\displaystyle I_{ij}={1\over R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij}).$

Budeme tedy hledat potenciál (a pro něj také dokážeme jednoznačnost řešení), přičemž rovnice (4) jsou pak splněny automaticky a rovnice (3) přejdou na

$\displaystyle \sum_{j,(kj)\in H}{1\over R_{kj}}(u_k-u_j+U_{kj})=0\,,
 \quad k=2,\ldots,N\,.$ (5)

Uvažujeme přitom rovnice pro všechny uzly $ k\neq1$, pro $ k=1$ už je rovnice (5) lineárně závislá na rovnicích ostatních, neboť neznámých je jen $ N-1$, a to $ u_2,\ldots,u_N$.

Vidíme, že když soustavu (5) pro potenciály $ u_k$ zapíšeme maticově jako $ {Z}\vec{u}=\vec{U}$ s vektory

$\displaystyle \vec{u}=(u_2,\ldots,u_N)^T\,,\quad \vec{U}=\Big(\sum_{j,(2j)\in H...
...ldots\ ,\hskip-3pt\sum_{j,(Nj)\in H}\hskip-6pt U_{Nj}/R_{Nj} \Big)^T\hskip-4pt,$

potom v $ k$-tém řádku čtvercové matice $ {Z}$ bude v $ k$-tém sloupci koeficient

$\displaystyle Z_{kk}=\sum_{j,(kj)\in H}{1\over R_{kj}}$

a v $ j$-tém sloupci ($ j\neq k$) koeficient

$\displaystyle Z_{jk}=\left\{\begin{array}{ll} -1/ R_{jk} & \mbox{pokud }
(jk)\in H\mbox{ a }j\not=1\\
0 & \mbox{jinak},
\end{array}\right.
$

samozřejmě bereme $ R_{kj}=R_{jk}$.

Díky $ R_{ij}>0$ budou elementy matice $ {Z}$ splňovat nerovnost

$\displaystyle \sum_{j\neq k}\vert Z_{jk}\vert\leq\vert Z_{kk}\vert\,,\quad k=2,\ldots,N\,,$ (6)

přičemž existuje takové $ k$, že pro něj nastane ostrá nerovnost (jsou to právě ty uzly, které jsou spojeny s uzlem 1). Říkáme, že $ {Z}$ je diagonálně dominantní.

Zbývá dokázat, že za podmínek (6) už je matice $ {Z}$ regulární. Nechť tedy (pro spor) existuje nějaká netriviální lineární kombinace řádků matice $ {Z}$, která je nulová, tj. existují čísla $ a_j$, z nichž aspoň jedno je nenulové, že

$\displaystyle \sum_{j=2}^N a_jZ_{jk}=0\,,\quad \forall k=2,\ldots,N\,. $

Jestliže nemají všechna $ a_j$ stejnou velikost, vybereme z nich takové $ a_{j_0}$, které je v absolutní hodnotě největší. Pro $ j_0$-tý sloupec matice $ {Z}$ potom platí (použijeme (6))

$\displaystyle \vert a_{j_0}Z_{j_0j_0}\vert=\bigg\vert\sum_{j\neq
j_0}a_jZ_{jj_0}\bigg\vert\leq$

$\displaystyle \sum_{j\neq
j_0}\vert a_jZ_{jj_0}\vert<\vert a_{j_0}\vert\sum_{j\neq
j_0}\vert Z_{jj_0}\vert\leq\vert a_{j_0}Z_{j_0j_0}\vert\,,$

což je spor. Jestliže jsou všechna $ a_j$ v absolutní hodnotě stejně velká, dostaneme spor analogicky tak, že se podíváme na ten sloupec, pro který nastane v (6) ostrá nerovnost.

Na závěr poznamenejme, že stejnou myšlenku lze použít i pro důkaz jednoznačnosti řešení Kirchhoffových zákonů v případě obvodů se střídavých proudem. Tam se kondenzátorům a cívkám přiřazují místo odporů obecně komplexní impedance. Pro jednoznačnost řešení pak bude stačit, když například impedance každé součástky bude mít kladnou reálnou část.

$ \ast$TB$ \ast$